Question

2．如图，等腰△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC交BC于D，在线段AD上任取一点P（点A除外），过点P作EF∥AB，分别交AC、BC于E，F点，作PM∥AC，交AB于M点，连接ME．
（1）判断四边形AEPM的形状，并说明理由；
（2）当P点在何处时，四边形AEPM的面积为四边形EFBM面积的一半．

Answer 1

分析 （1）先根据两组对边分别平行的四边形为平行四边形，证明四边形AEPM为平行四边形，再证明EA=EP，则四边形AEPM为菱形；
（2）点P为EF的中点时，四边形AEPM的面积为四边形EFBM面积的一半．作高线EN，先证明四边形EFBM是平行四边形，根据面积公式可得结论．

解答 解：（1）四边形AEPM为菱形，理由是：
∵EF∥AB，PM∥AC，
∴四边形AEPM为平行四边形，
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD=∠BAD，
∵EF∥AB，
∴∠EPA=∠BAD，
∴∠CAD=∠EPA，
∴EA=EP，
∴四边形AEPM为菱形；
（2）点P为EF的中点时，S_菱形AEPM=$\frac{1}{2}$S_{四边形EFBM}，
理由：
∵四边形AEPM为菱形，
∴AD⊥EM，
∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，
∴EM∥BC，
∵EF∥AB，
∴四边形EFBM是平行四边形，
作EN⊥AB于N，
则S_菱形AEPM=EP•EN=$\frac{1}{2}$EF•EN=$\frac{1}{2}$S_{四边形EFBM}．

点评 本题考查了菱形和平行四边形的性质和判定、等腰三角形三线合一的性质，熟练掌握平行四边形和菱形的判定方法是关键，还要熟记平行四边形和三角形的面积公式．