Question

15．如图，在圆内接四边形ABCD中，CD为∠BAC的外角平分线，F为$\widehat{AD}$上一点，BC=AF，延长DF与BA的延长线交于E．
（1）求证：AD=BD；
（2）若AC=10，AF=3，DF：FE=3：2，求DE的长．

Answer 1

分析 （1）由圆内接四边形的性质及圆的性质可求得∠DBA=∠DAB，从而可证明AD=BD；
（2）由条件可证得△AEF∽△DAC，再利用相似三角形的性质可求得DE的长．

解答 （1）证明：
∵CD平分∠ACM，
∴∠ACD=∠MCD，
∵四边形ABCD为圆内接四边形，
∴∠MCD=∠BAD，
又∠ACD=∠ABD，
∴∠BAD=∠ABD，
∴AD=BD；
（2）解：
∵BD=AD，BC=AF，
∴$\widehat{BD}$=$\widehat{AD}$，$\widehat{BC}$=$\widehat{AF}$，
∴$\widehat{CD}$=$\widehat{DF}$，
∴CD=DF，
∵BC=AF，
∴∠BDC=∠ADF，
∴∠CDA=∠BDF=∠EAF，
由（1）可知∠DCA=∠DBA，且∠EFA=∠DBA，
∴∠DCA=∠EFA，
∴△AEF∽△DAC，
∴$\frac{EF}{AC}$=$\frac{AF}{CD}$，
∴$\frac{EF}{AC}$=$\frac{AF}{DF}$，$\frac{EF}{10}$=$\frac{3}{DF}$，
∴EF•DF=30，
∵DF：FE=3：2，
∴设DF=3x，则FE=2x，
∴6x²=30，解得x=$\sqrt{5}$，
∴DE=DF+FE=5x=5$\sqrt{5}$．

点评 本题主要考查圆的有关性质及相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键，特别是在（2）中找出三角形相似的条件是解题的关键．