Question

已知：AB是⊙O的直径，直线CP切⊙O于点C，过点B作BD⊥CP于D．

（1）求证：△ACB∽△CDB；

（2）若⊙O的半径为1，∠BCP=30°，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

              （1）证明：如图，连接OC，

∵直线CP是⊙O的切线，

∴∠BCD+∠OCB=90°，

∵AB是直径，

∴∠ACB=90°，

∴∠ACO+∠OCB=90°

∴∠BCD=∠ACO，

又∵∠BAC=∠ACO，

∴∠BCD=∠BAC，

又∵BD⊥CP

∴∠CDB=90°，

∴∠ACB=∠CDB=90°

∴△ACB∽△CDB；

（2）解：如图，连接OC，

∵直线CP是⊙O的切线，∠BCP=30°，

∴∠COB=2∠BCP=60°，

∴△OCB是正三角形，

∵⊙O的半径为1，

∴S_△OCB=，S_扇形OCB==π，

故阴影部分的面积=S_扇形OCB﹣S_△OCB=π﹣．