Question

【题目】如图①，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC，四边形ADEF是正方形，点B、C分别在边AD、AF上，此时BD＝CF，BD⊥CF成立．

（1）当△ABC绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜90°）时，如图②，BD＝CF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；

（2）当△ABC绕点A逆时针旋转45°时，如图③，延长DB交CF于点H；

（ⅰ）求证：BD⊥CF；

（ⅱ）当AB＝2，AD＝3时，求线段DH的长．

Answer 1

【答案】（1）BD＝CF，理由详见解析；（2）（ⅰ）详见解析；（ⅱ）．

【解析】

（1）欲证明BD＝CF，只要证明△CAF≌△BAD即可；

（2）（ⅰ）由（1）得△CAF≌△BAD，推出∠CFA＝∠BDA，由∠FNH＝∠DNA，∠DNA+∠NAD＝90°，即可推出∠CFA+∠FNH＝90°，由此即可解决问题；

（ⅱ）只要证明△DMB∽△DHF，可得，构建方程即可解决问题；

（1）BD＝CF．

理由如下：由题意得，∠CAF＝∠BAD＝α，

在△CAF和△BAD中，

，

∴△CAF≌△BAD，

∴BD＝CF．

（2）（ⅰ）由（1）得△CAF≌△BAD，

∴∠CFA＝∠BDA，

∵∠FNH＝∠DNA，∠DNA+∠NAD＝90°，

∴∠CFA+∠FNH＝90°，

∴∠FHN＝90°，即BD⊥CF．

（ⅱ）连接DF，延长AB交DF于M，

∵四边形ADEF是正方形，AD＝3，AB＝2，

∴AM＝DM＝3，BM＝AM﹣AB＝1，

DB＝

∵∠MAD＝∠MDA＝45°，

∴∠AMD＝90°，又∠DHF＝90°，∠MDB＝∠HDF，

∴△DMB∽△DHF，

，即，

解得，DH＝．