Question

【题目】已知A（x,0）,B(0,y),且x，y满足,且点A与点C关于y轴对称.

（1）求C坐标；

（2）如图1，点D在射线BA上，连接CD，若b=4,∠D=∠CBA，求CD长

（3）如图2，如图2，BC=2OC，点Q是平面内一点，连接 QB,QC,QA，若QB=m，QC=OA，求AQ最大值.

Answer 1

【答案】（1）（-a，0）；（2）16；（3）3a.

【解析】

（1）将式子进行配方，利用平方式的非负性得到x和y的值，然后根据点A与点C关于y轴对称得到点C的坐标；

（2）过点C作x轴的垂线交AB的延长线于点G，可得到OB为△ACG的中位线，再通过∠D=∠CBA得到CD=CG，即可得到CD的长度；

（3）由于QC=OA，所以点Q是在以C为圆心CQ为半径的圆上运动，当A、C、Q三点在同一直线上且Q在C点左侧时，AQ取得最大值，由此求得AQ最大为3a.

解：（1）∵

∴

∴，

∴A（a,0）,B（0，2b），

又∵点A与点C关于y轴对称，

∴C点坐标为（-a，0）.

（2）过点C作x轴的垂线交AB的延长线于点G，

易得OB∥CG，O为AC的中点，

∴OB为△ACG的中位线，即，

∵b=4，

∴OB=2b=8，CG=2OB=16，

由点A与点C关于y轴对称，可得∠ABO=∠CBO=∠DBC，

又∵∠D=∠CBA，

∴∠D=∠ABO，

由OB∥CG，可知∠ABO=∠CGB，

∴∠D=∠CGB，

∴CD=CG=16.

（3）由以上可得，A（a,0）,C（-a，0），

∵QC=OA，

∴所以点Q是在以C为圆心CQ为半径的圆上运动，

当A、C、Q三点在同一直线上且Q在C点左侧时，AQ取得最大值，

此时AQ=a+a+a=3a.