【题目】如图,抛物线与直线交于A,B两点,交x轴于D,C两点,连接,,已知,.
(1)求抛物线的解析式;
(2)P为y轴右侧抛物线上一动点,连接,过点P作交y轴于点Q,问:是否存在点P使得以A,P,Q为项点的三角形与相似?若存在,请求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)设E为线段上一点(不含端点),连接,一动点M从点D出发,沿线段以每秒一个单位速度运动到E点,再沿线段以每秒个单位的速度运动到A后停止,当点E的坐标是多少时,点M在整个运动中用时最少?
【答案】(1);(2)存在,且点P的坐标为(11,36)或(,)或(,);(3)当点E的坐标为(2,1)时,点M在整个运动中用时最少.
【解析】
(1)把A、C两点代入抛物线解析式,即可得到关于m、n的方程组,解方程组即可求出m、n的值,进而可得结果;
(2)先求出直线AB与抛物线的交点B的坐标,再利用勾股定理逆定理判断出△ABC是直角三角形,从而∠ACB=90°;过点P作PG⊥y轴于G,设点P的横坐标为x,再分点G在点A的下方和点G在点A的上方,分别利用相似三角形的性质用含x的代数式表示出点P的坐标,然后代入抛物线的解析式即可求得x的值,问题即得解决;
(3)如图3,过A作射线AF∥x轴,过D作射线DF∥y轴,DF与AC交于点E,DF与AF交于点F,易求得点M在整个运动中的用时为:t==DE+EF=DF,此时点M在整个运动中的用时最少,然后求出点D坐标后,把D的横坐标代入直线AC解析式即可求出结果.
解:(1)把,代入抛物线的解析式,得;,解得:,
∴抛物线的解析式为:;
(2)存在点P,使得以A,P,Q为顶点的三角形与△ACB相似.
联立,解得:或,∴点B的坐标为(4,1).
∵C(3,0),B(4,1),A(0,3),
∴AB2=20,BC2=2,AC2=18,
∴BC2+AC2=AB2,∴△ABC是直角三角形,
∴∠ACB=90°,且tan∠BAC=;
过点P作PG⊥y轴于G,则∠PGA=90°.
设点P的横坐标为x,由P在y轴右侧可得x>0,则PG=x.
∵PQ⊥PA,∠ACB=90°,∴∠APQ=∠ACB=90°.
若点G在点A的下方,
①如图2①,当∠PAQ=∠CAB时,则△PAQ∽△CAB.
∵∠PGA=∠ACB=90°,∠PAQ=∠CAB,
∴△PGA∽△BCA,∴,
∴AG=3PG=3x,则P(x,3﹣3x),
把P(x,3﹣3x)代入,得,
解得:x1=0(舍去),x2=﹣1(舍去);
②如图2②,当∠PAQ=∠CBA时,则△PAQ∽△CBA.
同理可得:AG=PG=x,则P(x,3﹣x),
把P(x,3﹣x)代入,得,
解得:x1=0(舍去),x2=,
∴P(,);
若点G在点A的上方,
①当∠PAQ=∠CAB时,则△PAQ∽△CAB,
∵△PGA∽△BCA,∴,
∴AG=3PG=3x,则P(x,3+3x),
把P(x,3+3x)代入,得,
解得:x1=0(舍去),x2=11;
∴点P的坐标为(11,36).
②当∠PAQ=∠CBA时,则△PAQ∽△CBA.
同理可得:AG=PG=x,则P(x,3+x),
把P(x,3+x)代入,得,
解得:x1=0(舍去),x2=,
∴P(,);
综上所述:满足条件的点P的坐标为(11,36)或(,)或(,);
(3)如图3,过A作射线AF∥x轴,过D作射线DF∥y轴,DF与AC交于点E,DF与AF交于点F.
∵A(0,3),C(3,0),∴lAC:y=﹣x+3,
∴OA=OC,∠AOC=90°,∴∠ACO=45°,
∵AF∥OC,∴∠FAE=45°,
∴EF=AEsin45°=,
∴点M在整个运动中的用时为:t==DE+EF=DF,即当AF⊥DF时,DE+EF取得最小值DF,此时点M在整个运动中的用时最少,
∵抛物线的解析式为,令y=0,则,解得:,
∴D点坐标为(2,0),则E点横坐标为2,将x=2代入lAC:y=﹣x+3,得y=1,所以E(2,1).
即当点E的坐标为(2,1)时,点M在整个运动中用时最少.
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【题目】商场服装柜在销售中发现:某牌童装平均每天可售出20件,每件盈利40元.为了迎接“六一”儿童节,商场决定采取适当的降价措施,扩大销售量,增加盈利,减少库存,经市场调查发现,如果每件童装每降价4元,那么平均每天就可多售出8件,
(1)若商场要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元,那么每件童装应降价多少元?
(2)若商场要想平均每天在销售这种童装上盈利最多,那么每件童装应降价多少元?
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,函数的图象与函数的图象相交于点A,并与轴交于点C,S△AOC=15.点D是线段AC上一点,CD:AC=2:3.
(1)求的值;
(2)求点D的坐标;
(3)根据图象,直接写出当时不等式的的解集.
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【题目】已知直线l1:y=kx+b 经过点A(﹣,0)和点B(2,5).
(1)求直线l1与y轴的交点坐标;
(2)若点C(a,a+2)与点D在直线l1上,过点D的直线l2与x轴正半轴交于点 E,当AC=CD=CE 时,求DE的长.
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【题目】如图,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点,与y轴交于C.直线y=x+3经过点A、C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)P是抛物线上一动点,过P作PM∥y轴交直线AC于点M,设点P的横坐标为t.
①若以点C、O、M、P为顶点的四边形是平行四边形,求t的值.
②当射线MP,AC,MO中一条射线平分另外两条射线的夹角时,直接写出t的值.
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【题目】若一个三位数t=(其中a、b、c不全相等且都不为0),重新排列各数位上的数字必可得到一个最大数和一个最小数,此最大数和最小数的差叫做原数的差数,记为T(t).例如,539的差数T(539)=953﹣359=594.
(1)根据以上方法求出T(268)= ,T(513)= ;
(2)已知三位数(其中a>b>1)的差数T()=495,且各数位上的数字之和为3的倍数,求所有符合条件的三位数的值.
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【题目】如图,l1、l2、l3两两相交于A、B、C三点,它们与y轴正半轴分别交于点D、E、F,若A、B、C三点的坐标分别为(1,yA)、(2,yB)、(3,yC),且OD=DE=1,则下列结论正确的个数是( )①EC=3EA,②S△ABC=1,③OF=5,④2yA﹣yA﹣yC=2
A.1个B.2个C.3个D.4个
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