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【题目】如图,抛物线与直线交于AB两点,交x轴于DC两点,连接,已知

1)求抛物线的解析式;

2Py轴右侧抛物线上一动点,连接,过点Py轴于点Q,问:是否存在点P使得以APQ为项点的三角形与相似?若存在,请求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.

3)设E为线段上一点(不含端点),连接,一动点M从点D出发,沿线段以每秒一个单位速度运动到E点,再沿线段以每秒个单位的速度运动到A后停止,当点E的坐标是多少时,点M在整个运动中用时最少?

【答案】1;(2)存在,且P的坐标为(1136)或()或();(3)当点E的坐标为(21)时,M在整个运动中用时最少

【解析】

1)把AC两点代入抛物线解析式,即可得到关于mn的方程组,解方程组即可求出mn的值,进而可得结果;

2)先求出直线AB与抛物线的交点B的坐标,再利用勾股定理逆定理判断出△ABC是直角三角形,从而∠ACB90°;过点PPGy轴于G,设点P的横坐标为x,再分点G在点A的下方和点G在点A的上方,分别利用相似三角形的性质用含x的代数式表示出点P的坐标,然后代入抛物线的解析式即可求得x的值,问题即得解决;

3)如图3,过A作射线AFx轴,过D作射线DFy轴,DFAC交于点EDFAF交于点F,易求得点M在整个运动中的用时为:tDE+EF=DF,此时点M在整个运动中的用时最少,然后求出点D坐标后,把D的横坐标代入直线AC解析式即可求出结果.

解:(1)把代入抛物线的解析式,得;,解得:

∴抛物线的解析式为:

2)存在点P,使得以APQ为顶点的三角形与△ACB相似.

联立,解得:,∴点B的坐标为(41).

C30),B41),A03),

AB220BC22AC218

BC2+AC2AB2,∴△ABC是直角三角形,

∴∠ACB90°,且tanBAC

过点PPGy轴于G,则∠PGA90°.

设点P的横坐标为x,由Py轴右侧可得x0,则PGx

PQPA,∠ACB90°,∴∠APQ=∠ACB90°.

若点G在点A的下方,

①如图2①,当∠PAQ=∠CAB时,则△PAQ∽△CAB

∵∠PGA=∠ACB90°,∠PAQ=∠CAB

∴△PGA∽△BCA,∴

AG3PG3x,则Px33x),

Px33x)代入,得

解得:x10(舍去),x2=﹣1(舍去);

②如图2②,当∠PAQ=∠CBA时,则△PAQ∽△CBA

同理可得:AGPGx,则Px3x),

Px3x)代入,得

解得:x10(舍去),x2

P);

若点G在点A的上方,

①当∠PAQ=∠CAB时,则△PAQ∽△CAB

∵△PGA∽△BCA,∴

AG3PG3x,则Px3+3x),

Px3+3x)代入,得

解得:x10(舍去),x211

∴点P的坐标为(1136).

②当∠PAQ=∠CBA时,则△PAQ∽△CBA

同理可得:AGPGx,则Px3+x),

Px3+x)代入,得

解得:x10(舍去),x2

P);

综上所述:满足条件的点P的坐标为(1136)或()或();

3)如图3,过A作射线AFx轴,过D作射线DFy轴,DFAC交于点EDFAF交于点F

A03),C30),∴lACy=﹣x+3

OAOC,∠AOC90°,∴∠ACO45°,

AFOC,∴∠FAE45°,

EFAEsin45°=

∴点M在整个运动中的用时为:tDE+EF=DF,即当AFDF时,DE+EF取得最小值DF,此时点M在整个运动中的用时最少,

∵抛物线的解析式为,令y=0,则,解得:

D点坐标为(20),则E点横坐标为2,将x2代入lACy=﹣x+3,得y1,所以E21).

即当点E的坐标为(21)时,点M在整个运动中用时最少.

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