(1)证明:过E点作EN⊥CH于N.
∵EF⊥BD,CH⊥BD,
∴四边形EFHN是矩形.
∴EF=NH,FH∥EN.
∴∠DBC=∠NEC.
∵四边形ABCD是矩形,
∴AC=BD,且互相平分
∴∠DBC=∠ACB
∴∠NEC=∠ACB
∵EG⊥AC,EN⊥CH,
∴∠EGC=∠CNE=90°,
又∵EC=CE,
∴△EGC≌△CNE.
∴EG=CN
∴CH=CN+NH=EG+EF;
(2)解:猜想CH=EF-EG;
(3)解:EF+EG=
BD;
(4)解:点P是等腰三角形底边所在直线上的任意一点,点P到两腰的距离的和(或差)等于这个等腰三角形腰上的高.如图①,有CG=PF-PN.
分析:(1)要证明CH=EF+EG,首先要想到能否把线段CH分成两条线段而加以证明,就自然的想到添加辅助线,若作CE⊥NH于N,可得矩形EFHN,很明显只需证明EG=CN,最后根据AAS可求证△EGC≌△CNE得出结论.
(2)过C点作CO⊥EF于O,可得矩形HCOF,因为HC=FO,所以只需证明EO=EG,最后根据AAS可求证△COE≌△CGE得出猜想.
(3)连接AC,过E作EG作EH⊥AC于H,交BD于O,可得矩形FOHE,很明显只需证明EG=CH,最后根据AAS可求证△CHE≌△EGC得出猜想.
(4)点P是等腰三角形底边所在直线上的任意一点,点P到两腰的距离的和(或差)等于这个等腰三角形腰上的高,很显然过C作CE⊥PF于E,可得矩形GCEF,而且AAS可求证△CEP≌△CNP,故CG=PF-PN.
点评:此题主要考查矩形的性质和判定,解答此题的关键是作出辅助线,构造矩形和三角形全等来进行证明.