Question

18．已知CA=CB，CF=CE，∠ACB=∠FCE=90°，且A、F、E三点共线，AE与CB交于点D．
（1）如图1，求证：AF=BE；
（2）如图1，若AC=$\sqrt{17}$，BE=3，求CE的长；
（3）如图2，当∠BAE=15°时，将△ACE沿AE翻折得到△ANE，EN交AB于M，连接CM．探究线段AM、BM与CM的数量关系，并证明．

Answer 1

分析 （1）如图1中，欲证明AF=BE，只要证明△ACF≌△BCE即可．
（2）如图1中，由△ACF≌△BCE，推出∠AFC=∠CEB，由∠CFE=∠CEF=45°，推出∠AFC=∠CEB=135°，推出∠AEB=90°，由AC=BC=$\sqrt{17}$，推出BC=$\sqrt{2}$AC=$\sqrt{34}$，在Rt△AEB中，AE=$\sqrt{A{B}^{2}-B{R}^{2}}$=$\sqrt{34-9}$=5，推出EF=2，由此即可解决问题．
（3）结论：AM=MC+MB．如图2中，连接CN，作CH⊥AB于H，在AM取一点G，使得CG=CM．只要证明△CGM是等边三角形，MN=MB，再证明△ACG≌△NCM即可解决问题．

解答 （1）证明：如图1中，

∵∠ACB=∠FCE=90°，
∴∠ACF=∠BCE，
在△ACF和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{CA=CB}\\{∠ACF=∠BCE}\\{CF=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACF≌△BCE，
∴AF=BE，

（2）解：如图1中，
∵△ACF≌△BCE，
∴∠AFC=∠CEB，
∵∠CFE=∠CEF=45°，
∴∠AFC=∠CEB=135°，
∴∠AEB=90°，
∵AC=BC=$\sqrt{17}$，
∴BC=$\sqrt{2}$AC=$\sqrt{34}$，
在Rt△AEB中，AE=$\sqrt{A{B}^{2}-B{R}^{2}}$=$\sqrt{34-9}$=5，
∵AF=BE=3，
∴EF=2，
∴CE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$EF=$\sqrt{2}$．

（3）解：结论：AM=MC+MB．理由如下：
如图2中，连接CN，作CH⊥AB于H，在AM取一点G，使得CG=CM．

∵∠BAE=15°，∠CAB=45°，
∴∠CAE=30°，∵∠CFE=∠CAF+∠ACF=45°，
∴∠ACF=∠BCE=15°，
∵△AEN是由△ACE翻折得到，
∴∠EAN=∠EAC=30°，AC=AN，
∴∠CAN=60°，
∴△CAN是等边三角形，
∴CA=CB=CN，
在△CNE和△CBH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CEN=∠CHB=90°}\\{∠CNE=∠CBH=45°}\\{CN=CB}\end{array}\right.$，
∴△CNE≌△CBH，
∴CH=CE，∵CM=CM，
∴Rt△CMH≌Rt△CME，
∴∠MCH=∠MCE，
∵∠HCE=∠HCB+BCE=45°+15°=60°，
∴∠MCE=∠MCH=30°，
∴∠MCB=∠MCN=∠NCH=15°，
∵CM=CM，CN=CB，
∴△MCN≌△MCB，
∴MN=BM，
∵∠CMA=∠MCB+∠CBM=60°，CG=CM，
∴△CGM是等边三角形，
∴∠ACN=∠GCM=60°，CM=GM，
∴∠ACG=∠NCM，∵CA=CN，CG=CM，
∴△ACG≌△NCM，
∴AG=MN=BM，
∴AM=AG+GM=BM+CM．
∴AM=MC+MB．

点评 本题考查三角形综合题、等腰直角三角形的性质、等边三角形的判定角性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用截长补短法证明线段之间的关系，属于中考压轴题．