Question

9．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+c与x轴正半轴交于点F（16，0）、与y轴正半轴交于点E（0，16），边长为16的正方形ABCD的顶点D与原点O重合，顶点A与点E重合，顶点C与点F重合；
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图2，若正方形ABCD在平面内运动，并且边BC所在的直线始终与x轴垂直，抛物线始终与边AB交于点P且同时与边CD交于点Q（运动时，点P不与A、B两点重合，点Q不与C、D两点重合）．
设点A的坐标为（m，n）（m＞0）．
①当PO=PF时，分别求出点P和点Q的坐标；
②当n=7时，是否存在m的值使点P为AB边中点？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由；
③在①的基础上，当正方形ABCD左右平移时，请直接写出m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）将F点的坐标代入抛物线的解析式中，即可求出待定系数的值，由此确定该抛物线的解析式；
（2）①若PO=PF，那么P点位于OF的垂直平分线上，此时P点的横坐标是F点横坐标的一半；将其代入抛物线的解析式中，即可求出P点的坐标；易知正方形的边长为16，根据P点的坐标即可确定Q点的纵坐标，进而可由抛物线的解析式确定Q点的坐标；
②当n=7时，P点的纵坐标为7，Q点的纵坐标为-9，根据抛物线的解析式可确定P、Q的坐标；假设P是AB的中点，根据这个条件可确定A、B、C、D四点的坐标，然后判断P、Q是否与这四点重合，若重合则与已知矛盾，那么就不存在符合条件的m值，若不重合，所得A点的横坐标即为所求的m值；
③在①中，求得P（8，12），Q（8$\sqrt{5}$，-4）；当P、A重合时，m=8；当Q、C重合时，m=8$\sqrt{5}$-16；由于P、A，Q、C都不重合，所以m的取值范围应该是8$\sqrt{5}$-16＜m＜8；

解答 解：（1）由抛物线y=ax²+c经过点E（0，16），F（16，0）得：
$\left\{\begin{array}{l}{1{6}^{2}a+c=0}\\{c=16}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{16}}\\{c=16}\end{array}\right.$，
∴y=-$\frac{1}{16}$x²+16．

（2）①如图2，过点P做PG⊥x轴于点G，
∵PO=PF，
∴OG=FG，
∵F（16，0），
∴OF=16，
∴OG=$\frac{1}{2}$×OF=$\frac{1}{2}$×16=8，
即P点的横坐标为8，
∵P点在抛物线上，
∵m＞0，
∴y=-$\frac{1}{16}$x²+16=12，
即P点的纵坐标为12，
∴P（8，12），
∵P点的纵坐标为12，正方形ABCD边长是16，
∴Q点的纵坐标为-4，
∵Q点在抛物线上，
∴-$\frac{1}{16}$x²+16=12，
∴x=8$\sqrt{5}$或x=-8$\sqrt{5}$，
∵m＞0，
∴x=-8$\sqrt{5}$（舍）
∴x=8$\sqrt{5}$，
∴Q（8$\sqrt{5}$，-4）；
②不存在．
理由：当n=7时，则P点的纵坐标为7，
∵P点在抛物线上，
∴7=-$\frac{1}{16}$x²+16，
∴x₁=12，x₂=-12，
∵m＞0
∴x₂=-12（舍去）
∴x=12
∴P点坐标为（12，7）
∵P为AB中点，
∴AP=$\frac{1}{2}$AB=8，
∴点A的坐标是（4，7），
∴m=4，
又∵正方形ABCD边长是16，
∴点B的坐标是（20，7），点C的坐标是（20，-9），
∴点Q的纵坐标为-9，
∵Q点在抛物线上，
∴-9=-$\frac{1}{16}$x²+16，
∴x₁=20，x₂=-20，
∵m＞0，
∴x₂=-20（舍去）
∴x=20，
∴Q点坐标（20，-9），
∴点Q与点C重合，这与已知点Q不与点C重合矛盾，
∴当n=7时，不存在这样的m值使P为AB的边的中点；
③∵P（8，12），Q（8$\sqrt{5}$，-4）；
∴当P、A重合时，m=8；当Q、C重合时，m=8$\sqrt{5}$-16；
∵P、A，Q、C都不重合，
∴m的取值范围应该是8$\sqrt{5}$-16＜m＜8；

点评 此题是二次函数的综合题，考查的知识点有二次函数解析式的确定、正方形的性质、等腰三角形的性质等，综合性较强，难度较大，解题的关键是能够根据题意进行分类讨论，这种数学思想也是中考的热点考题之一．