Question

【题目】 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=5．作一边的垂直平分线交另一边于点D，则CD的长是______．

Answer 1

【答案】或

【解析】

分两种情况：①当作斜边AB的垂直平分线PQ，与BC交于点D时，连接AD由PQ垂直平分线段AB，推出DA=DB，设DA=DB=x，在Rt△ACD中，∠C=90°，根据AD2=AC2+CD2构建方程即可解决问题；②当作直角边的垂直平分线PQ，与斜边AB交于点D时，连接CD，根据直角三角形斜边上的中线性质求得CD．

解：当作斜边AB的垂直平分线PQ，与BC交于点D时，连接AD．

∵PQ垂直平分线段AB，

∴DA=DB，设DA=DB=x，

在Rt△ACD中，∠C=90°，AD2=AC2+CD2，

∴x2=32+（5-x）2，

解得x=，

∴CD=BC-DB=5-=；

当作直角边的垂直平分线PQ或P′Q′，都与斜边AB交于点D时，连接CD，

则D是AB的中点，

∴CD=AB=，

综上可知，CD=或．

故答案为：或．