Question

【题目】已知：如图在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B分别是y轴正半轴和x轴正半轴上的点，OA=OB=a，a满足等式2a﹣2×16=64．

（1）求点A的坐标；

（2）动点C从O点出发沿x轴负半轴方向匀动，速度为每秒2个单位长度，过点B作BD⊥AC于D，交y轴于点E，设C的运动时间为t，用含t的代数式表示线段AE的长．

（3）在（2）的条件下过点O作OF⊥BD于点F，交AB于点G，连接EG，是否存在t值，使∠AGE=∠OGB，若存在求出t值，若不存在说明理由．

Answer 1

【答案】（1）A（0，4）；（2）AE=4﹣2t；（3）t=1．

【解析】

（1）由同底数幂的乘法可求a的值；

（2）由“AAS”可证△ACO≌△BEO，可得CO＝OE＝2t，即可求AE的长；

（3）过点A作AH∥OB，交OG延长线于H，由“ASA”可证△AGE≌△AGH，可得AH＝AE＝4﹣2t，由“ASA”可证△AOH≌△OBE，可得AH＝OE，即可求t的值．

（1）∵2a﹣2×16=64，

∴a﹣2=2，

∴a=4．

∵OA=OB=a，

∴OA=OB=4，

∴点A（0，4），点B（4，0）；

（2）如图1，

∵BD⊥AC，AO⊥BC，

∴∠ACO+∠CBD=90，∠ACO+∠CAO=90，

∴∠CBD=∠CAO，且AO=BO，∠AOC=∠BOE=90，

∴△ACO≌△BEO（AAS），

∴CO=OE=2t，

∴AE=AO﹣OE=4﹣2t，

（3）存在.

如图2，过点A作AH∥OB，交OG延长线于H，

∴∠HAO=∠AOB=90．

∵AO=BO，∠AOB=90，

∴∠OAB=∠OBA=45，

∴∠HAG=∠OAB=45，且AG=AG，∠AGE=∠OGB=∠AGH，

∴△AGE≌△AGH（ASA），

∴AH=AE=4﹣2t．

∵OF⊥BD，

∴∠FOB+∠OBD=90，且∠AOH+∠FOB=90，

∴∠AOH=∠OBD，且AO=OB，∠HAO=∠EOB，

∴△AOH≌△OBE（ASA），

∴AH=OE，

∴4﹣2t=2t，

∴t=1．