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【题目】如图,平面直角坐标系xOy中,点A的坐标为(﹣2,2),点B的坐标为(6,6),抛物线经过A、O、B三点,连接OA、OB、AB,线段AB交y轴于点E.

(1)求点E的坐标;
(2)求抛物线的函数解析式;
(3)点F为线段OB上的一个动点(不与点O、B重合),直线EF与抛物线交于M、N两点(点N在y轴右侧),连接ON、BN,当点F在线段OB上运动时,求△BON面积的最大值,并求出此时点N的坐标;
(4)连接AN,当△BON面积最大时,在坐标平面内求使得△BOP与△OAN相似(点B、O、P分别与点O、A、N对应)的点P的坐标.

【答案】
(1)

解:设直线AB解析式为y=kx+b,

将A(﹣2,2),B(6,6)代入,得 ,解得

∴y= x+3,令x=0,

∴E(0,3)


(2)

解:设抛物线解析式为y=ax2+bx+c,

将A(﹣2,2),B(6,6),O(0,0)三点坐标代入,得 ,解得

∴y= x2 x


(3)

解:依题意,得直线OB的解析式为y=x,设过N点且与直线OB平行的直线解析式为y=x+m,

联立 ,得x2﹣6x﹣4m=0,当△=36+16m=0时,过N点与OB平行的直线与抛物线有唯一的公共点,则点N到BO的距离最大,所以△BON面积最大,

解得m=﹣ ,x=3,y= ,即N(3, );

此时△BON面积= ×6×6﹣ +6)×3﹣ × ×3=


(4)

解:过点A作AS⊥GQ于S,

∵A(﹣2,2),B(6,6),N(3, ),

∵∠AOE=∠OAS=∠BOH=45°,

OG=3,NG= ,NS= ,AS=5,

在Rt△SAN和Rt△NOG中,

∴tan∠SAN=tan∠NOG=

∴∠SAN=∠NOG,

∴∠OAS﹣∠SAN=∠BOG﹣∠NOG,

∴∠OAN=∠NOB,

∴ON的延长线上存在一点P,使得△BOP∽△OAN,

∵A(﹣2,2),N(3, ),

∵△BOP与△OAN相似(点B、O、P分别与点O、A、N对应),即△BOP∽△OAN,

∴BO:OA=OP:AN=BP:ON

又∵A(﹣2,2),N(3, ),B(6,6),

∴BO=6 ,OA=2 ,AN= ,ON=

∴OP= ,BP=

设P点坐标为(4x,x),

∴16x2+x2=( 2

解得x= ,4x=15,

∵P、P′关于直线y=x轴对称,

∴P点坐标为(15, )或( ,15).


【解析】(1)根据A、B两点坐标求直线AB的解析式,令x=0,可求E点坐标;(2)设抛物线解析式为y=ax2+bx+c,将A(﹣2,2),B(6,6),O(0,0)三点坐标代入,列方程组求a、b、c的值即可;(3)依题意,得直线OB的解析式为y=x,设过N点且与直线OB平行的直线解析式为y=x+m,与抛物线解析式联立,得出关于x的一元二次方程,当△=0时,△BON面积最大,由此可求m的值及N点的坐标;(4)根据三角形相似的性质得到BO:OA=OP:AN=BP:ON,然后根据勾股定理分别计算出BO=6 ,OA=2 ,AN= ,ON= ,这样可求出OP= ,BP= ,设P点坐标为(x,y),再利用勾股定理得到关于x,y的方程组,解方程组即可.

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