【题目】如图,平面直角坐标系xOy中,点A的坐标为(﹣2,2),点B的坐标为(6,6),抛物线经过A、O、B三点,连接OA、OB、AB,线段AB交y轴于点E.
(1)求点E的坐标;
(2)求抛物线的函数解析式;
(3)点F为线段OB上的一个动点(不与点O、B重合),直线EF与抛物线交于M、N两点(点N在y轴右侧),连接ON、BN,当点F在线段OB上运动时,求△BON面积的最大值,并求出此时点N的坐标;
(4)连接AN,当△BON面积最大时,在坐标平面内求使得△BOP与△OAN相似(点B、O、P分别与点O、A、N对应)的点P的坐标.
【答案】
(1)
解:设直线AB解析式为y=kx+b,
将A(﹣2,2),B(6,6)代入,得 ,解得 ,
∴y= x+3,令x=0,
∴E(0,3)
(2)
解:设抛物线解析式为y=ax2+bx+c,
将A(﹣2,2),B(6,6),O(0,0)三点坐标代入,得 ,解得 ,
∴y= x2﹣ x
(3)
解:依题意,得直线OB的解析式为y=x,设过N点且与直线OB平行的直线解析式为y=x+m,
联立 ,得x2﹣6x﹣4m=0,当△=36+16m=0时,过N点与OB平行的直线与抛物线有唯一的公共点,则点N到BO的距离最大,所以△BON面积最大,
解得m=﹣ ,x=3,y= ,即N(3, );
此时△BON面积= ×6×6﹣ ( +6)×3﹣ × ×3=
(4)
解:过点A作AS⊥GQ于S,
∵A(﹣2,2),B(6,6),N(3, ),
∵∠AOE=∠OAS=∠BOH=45°,
OG=3,NG= ,NS= ,AS=5,
在Rt△SAN和Rt△NOG中,
∴tan∠SAN=tan∠NOG= ,
∴∠SAN=∠NOG,
∴∠OAS﹣∠SAN=∠BOG﹣∠NOG,
∴∠OAN=∠NOB,
∴ON的延长线上存在一点P,使得△BOP∽△OAN,
∵A(﹣2,2),N(3, ),
∵△BOP与△OAN相似(点B、O、P分别与点O、A、N对应),即△BOP∽△OAN,
∴BO:OA=OP:AN=BP:ON
又∵A(﹣2,2),N(3, ),B(6,6),
∴BO=6 ,OA=2 ,AN= ,ON= ,
∴OP= ,BP= ,
设P点坐标为(4x,x),
∴16x2+x2=( )2,
解得x= ,4x=15,
∵P、P′关于直线y=x轴对称,
∴P点坐标为(15, )或( ,15).
【解析】(1)根据A、B两点坐标求直线AB的解析式,令x=0,可求E点坐标;(2)设抛物线解析式为y=ax2+bx+c,将A(﹣2,2),B(6,6),O(0,0)三点坐标代入,列方程组求a、b、c的值即可;(3)依题意,得直线OB的解析式为y=x,设过N点且与直线OB平行的直线解析式为y=x+m,与抛物线解析式联立,得出关于x的一元二次方程,当△=0时,△BON面积最大,由此可求m的值及N点的坐标;(4)根据三角形相似的性质得到BO:OA=OP:AN=BP:ON,然后根据勾股定理分别计算出BO=6 ,OA=2 ,AN= ,ON= ,这样可求出OP= ,BP= ,设P点坐标为(x,y),再利用勾股定理得到关于x,y的方程组,解方程组即可.
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】A、B两地相距216千米,甲、乙分别在A、B两地,若甲骑车的速度为15千米/时,乙骑车的速度为12千米/时。.
(1)甲、乙同时出发,背向而行,问几小时后他们相距351千米?
(2)甲、乙相向而行,甲出发三小时后乙才出发,问乙出发几小时后两人相遇?
(3)甲、乙相向而行,要使他们相遇于AB的中点,乙要比甲先出发几小时?
(4)甲、乙同时出发,相向而行,甲到达B处,乙到达A处都分别立即返回,几小时后相遇?相遇地点距离A有多远?
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图是工人师傅用同一种材料制成的金属框架,已知∠B=∠E,AB=DE,BF=EC,其中△ABC的周长为24cm,CF=3cm,则制成整个金属框架所需这种材料的总长度为 ________cm.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,图案由边长相等的黑、白两色正方形按一定规律拼接而成,第n个图案中白色正方形的个数比黑色正方形的个数多_____.(用含有n的代数式表示)
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在ABCD中,E、F分别为边AB、CD的中点,BD是对角线,过点A作AG∥DB交CB的延长线于点G.
(1)求证:DE∥BF;
(2)若∠G=90°,求证:四边形DEBF是菱形.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在ABCD中,AB=3,AD=4,∠ABC=60°,过BC的中点E作EF⊥AB,垂足为点F,与DC的延长线相交于点H,则△DEF的面积是 .
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,∠MON=90°,点A,B分别在射线OM,ON上运动,BE平分∠ABN,BE的反向延长线与∠BAO的平分线交于点C.
(1)当点A,B移动后,∠BAO=45°时,∠C=________;
(2)当点A,B移动后,∠BAO=60°时,∠C=________;
(3)由(1)(2)猜想∠C是否随点A,B的移动而发生变化,并说明理由.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】(本题满分7分)在一棵树的10米高处有两只猴子,一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A处。另一只爬到树顶D后直接跃到A处,距离以直线计算,如果两只猴子所经过的距离相等,求这棵树高。
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com