Question

如图，⊙O中半径OA=2，∠AOB=60°，P为

AB

上的点，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N．
（1）若P是

AB

的中点，求MN的长；
（2）若点P不是

AB

的中点，则MN的长度是否发生变化？请说明理由；
（3）若∠AOB=45°，求MN的长．（不用证明）

Answer 1

分析：（1）P是弧AB的中点，那么可连接OP，根据垂径定理即可得出OP⊥MN，∠MOP=30°，根据OP⊥MN构建的直角三角形和∠MOP的度数，半径的长已知，即可求出MN的值．
（2）如果P不是弧AB的中点，可作出（1）中的情况，然后找中间值进行比较，找出弧AB的中点Pn，过Pn作Pn⊥OA于Mn，Pn⊥OB于Nn．由于过P和Pn的线段都垂直于半径，那么可联系中位线的知识进行求解，可延长这些线段，通过构建三角形，通过证这两个三角形的底边相等来得出它们的中位线相等进而得出P是弧AB的中点是，MN的长度不变．
（3）由于P在任何位置MN的长度都不变，如果让A点与P点重合，那么∠AOB=45°，此时可在直角三角形OPN中，根据∠AOB的度数和半径的长来求出MN的值．

解答：解：（1）连接OP，
∵P为

AB

中点
∴∠AOP=∠BOP=

1

2

∠AOB=30°
∵PM⊥OA于Mcos∠AOP=

OM

OP

=

3

2

，
∴OM=

3

同理ON=

3

∴OM=ON，
∵∠AOB=60°，
∴△OMN为等边三角形
∴MN=

3

；

（2）长度不变．
设Pn为

AB

中点，垂足为Mn，Nn分别延长PM，PN，PnMn，PnNn交⊙O于E，F，
En，Fn由于∠EPF=∠EnPnFn=120°
∴EF=EnFn
又MN，MnNn分别为△PEF，△PnEnFn的中位线
∴MN=

1

2

EF，MnNn=

1

2

EnFn
∴MN=MnNn

（3）由（1），（2）可知P点取

AB

上任一点时MN长度不变，包括P点与A，B重合时，
故当∠AOB=45°时，
让点P与点A重合，
PN=

2

2

•2=

2

当∠AOB=45°时，
MN=

2

．

点评：本题主要考查了圆周角定理，垂径定理以及中位线的应用等知识点，要注意（2）中辅助线的作法，根据题中的条件构建出和所求的条件相关的三角形是解题的关键．