Question

（2002•内江）如图，以Rt△BCF的斜边BC为直径作⊙O，A为上一点，且=，AD⊥BC，垂足为D，过A作AE∥BF交CB的延长线于E．
求证：
（1）AE是⊙O切线；
（2）；
（3）若⊙O直径为d，则．

Answer 1

【答案】分析：（1）要证AE是⊙O切线，只要证明AE⊥OA即可；
（2）根据已知利用相似三角形的判定，再根据相似比之间的转化从而得到结论；
（3）根据相似三角形的边对应成比例即可证得结论．
解答：证明：（1）连接AB，OA，
∵弧AB=弧AF，OA是⊙O的半径，
∴OA⊥BF．
∵AE∥EF，
∴AE⊥OA．
∵OA是⊙O的半径，
∴AE是⊙O切线．

（2）∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC=90°．
∵AD⊥BC，
∴△ABD∽△ABC，△ACD∽△ABC．
∴AB²=BD•BC，AC²=CD•BC，
∴①
∵AE是⊙O切线；
∴∠EAB=∠ECA．
∵∠E=∠E，
∴△ABE∽△AEC．
∴，
∴②
∵AE是⊙O切线．
∴AE²=BE•EC③
由①②③得，；

（3）∵⊙O直径为d
∴，
∴，
∴．
点评：此题考查了圆的切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质以及比例式的变形等知识．