Question

【题目】在平面直角坐标系中，对于点P（a，b），若点P′的坐标为（，）（其中k为常数，且k≠0），则称点P′为点P的“k关联点”．

（1）点P（﹣3，4）的“2关联点”P′的坐标是_______________;

（2）若a、b为正整数，点P的“k关联点”P′的坐标为（3，9），请直接写出k的值及点P的坐标；

（3）如图，点Q的坐标为（0，2 ），点A在函数的图象上运动，且点A是点B的“﹣关联点”，求线段BQ的最小值．

Answer 1

【答案】（1）(-1,-2)； （2）， P(1,6)或P(2,3)；（3）BQ的最小值为

【解析】

（1）根据题中的新定义求出点P（-3，4）的“2关联点”P′的坐标即可；

（2）根据题中的新定义求出a与b的关系式即可；

（3）设点B的坐标为（m，n），从而表示出点A的坐标（m+，-m+n），由点A在函数的图象上可得到m、n之间的关系n=4+m．然后将BQ2用m的代数式表示，根据二次函数的最值性，求出BQ最小值．

（1）∵x=-3+=-1，y=2×（-3）+4=-2，

∴P′（-1，-2）；

（2）设P（a，b），则P′（，ka+b）

∴，

∴k=3，

∴3a+b=9．

∵a、b为正整数

∴P′（1，6）、（2，3）；

（3）设点B的坐标为（m，n），

∵点A是点B的“﹣关联点”，

∴点A的坐标为（m+，-m+n），

∵点A在函数的图象上，

∴（m+）（-m+n）=-8，且m+＜0．

整理得：（m+）2=8．

∵m+＜0，

∴m+=-2．

∴n=4+m．

∴点B的坐标为（m，4+m）．

过点B作BH⊥OQ，垂足为H，如图所示．

∵点Q的坐标为（0，2），

∴QH2=（2-4-m）2=（2+m）2，BH2=m2．

∴BQ2=BH2+QH2

=m2+（2+m）2

=3m2+4m+4

=3（m+）2+

∵3＞0，

∴当m=-时，BQ2最小，即BQ2 =．

∴BQ=．