Question

四边形ABCD是由等边△ABC和顶角为120°的等腰△ABD拼成，将一个60°角顶点放在D处，将60°角绕D点旋转，该60°角两边分别交直线BC、AC于M、N．交直线AB于E、F两点，
（1）当E、F分别在边AB上时（如图1），求证：BM+AN=MN；
（2）当E、F分别在边BA的延长线上时如图2，求线段BM、AN、MN之间又有怎样的数量关系______；
（3）在（1）的条件下，若AC=5，AE=1，求BM的长．

Answer 1

（1）证明：把△DBM绕点D逆时针旋转120°得到△DAQ，
则DM=DQ，AQ=BM，∠ADQ=∠BDM，
∵∠QDN=∠ADQ+∠ADN=∠BDM+∠ADN=∠ABD-∠MDN=120°-60°=60°，
∴∠QDN=∠MDN=60°，
∵在△MND和△QND中，
，
∴△MND≌△QND（SAS），
∴MN=QN，
∵QN=AQ+AN=BM+AN，
∴BM+AN=MN；

（2）MN+AN=BM．
理由如下：如图，把△DAN绕点D顺时针旋转120°得到△DBP，
则DN=DP，AN=BP，
∵∠DAN=∠DBP=90°，
∴点P在BM上，
∵∠MDP=∠ADB-∠ADM-∠BDP=120°-∠ADM-∠ADN=120°-∠MDN=120°-60°=60°，
∴∠MDP=∠MDN=60°，
∵在△MND和△MPD中，
，
∴△MND≌△MPD（SAS），
∴MN=MP，
∵BM=MP+BP，
∴MN+AN=BM；

（3）如图，过点M作MH∥AC交AB于G，交DN于H，
∵△ABC是等边三角形，
∴△BMG是等边三角形，
∴BM=MG=BG，
根据（1）△MND≌△QND可得∠QND=∠MND，
根据MH∥AC可得∠QND=∠MHN，
∴∠MND=∠MHN，
∴MN=MH，
∴GH=MH-MG=MN-BM=AN，
即AN=GH，
∵在△ANE和△GHE中，
，
∴△ANE≌△GHE（AAS），
∴AE=EG=1，
∵AC=5，
∴AB=AC=5，
∴BG=AB-AE-EG=5-1-1=3，
∴BM=BG=3．
分析：（1）把△DBM绕点D逆时针旋转120°得到△DAQ，根据旋转的性质可得DM=DQ，AQ=BM，∠ADQ=∠BDM，然后求出∠QDN=∠MDN，利用“边角边”证明△MND和△QND全等，根据全等三角形对应边相等可得MN=QN，再根据AQ+AN=QN整理即可得证；
（2）把△DAN绕点D顺时针旋转120°得到△DBP，根据旋转的性质可得DN=DP，AN=BP，根据∠DAN=∠DBP=90°可知点P在BM上，然后求出∠MDP=60°，然后利用“边角边”证明△MND和△MPD全等，根据全等三角形对应边相等可得MN=MP，从而得证；
（3）过点M作MH∥AC交AB于G，交DN于H，可以证明△BMG是等边三角形，根据等边三角形的性质可得BM=MG=BG，根据全等三角形对应角相等可得∠QND=∠MND，再根据两直线平行，内错角相等可得∠QND=∠MHN，然后求出∠MND=∠MHN，根据等角对等边可得MN=MH，然后求出AN=GH，再利用“角角边”证明△ANE和△GHE全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=GE，再根据BG=AB-AE-GE代入数据进行计算即可求出BG，从而得到BM的长．
点评：本题考查了全等三角形的判定与性质及等腰三角形的性质，根据等边三角形的性质，旋转变换的性质作辅助线构造全等三角形是解题的关键，（3）作平行线并求出AN=GH是解题的关键，也是本题的难点．