Question

某供电部门准备在输电主干线l上连接一个分支线路，分支点为M，同时向新落成的A、B两个居民小区送电．已知居民小区A、B分别到主干线l的距离AA₁=2km，BB₁=1km，且A₁B₁=4km．
（1）如果居民小区A、B在主干线l的两旁，如图（1）所示，那么分支点M在什么地方时总线路最短？最短线路的长度是多少千米？
（2）如果居民小区A、B在主干线l的同旁，如图（2）所示，那么分支点M在什么地方时总线路最短？此时分支点M与A1的距离是多少千米？

Answer 1

分析：（1）连接AB，构造直角三角形，由勾股定理求得AB的值；
（2）作B点关于直线l的对称点B₂，连接AB₂交直线l于点M，此处即为分支点．

解答：解：（1）连接AB，AB与l的交点就是所求分支点M分支点开在此处，总线路最短．过B作l的平行线与AA₁的延长线交于F，
设A₁M=x，则MB₁=4-x，

∵BB₁⊥l，AA₁⊥l，
∴∠BB₁M=∠AA₁M=90°，又∠AMA₁=∠BMB₁，
∴△B₁BM∽△A₁AM，
∴

A A1

BB1

=

A1M

MB1

，即

2

1

=

x

4-x

，
解得A₁M=x=

8

3

，
在直角三角形ABF中，AF=AA₁+A₁F=2+1=3，BF=B₁A₁=4，
由勾股定理得AB=

AF2+BF2

=5，
所以分支点M在线段A₁B₁上且距A₁点

8

3

千米处，最短线路的长度为5千米；

（2）如图（2），作B点关于直线l的对称点B₂，连接AB₂交直线l于点M，
此处即为分支点，
由（1）知，A₁M长度为

8

3

千米．

点评：本题利用了轴对称的性质，勾股定理，两点之间线段最短的性质求解．