Question

4．如图，△ABC、△CDE都是等边三角形
（1）求证：BE=AD；
（2）求BE与AD的夹角．

Answer 1

分析 （1）根据全等三角形的判定定理SAS证得△BCE≌△ACD，然后由全等三角形的对应边相等知AD=BE．
（2）如图，延长EB交AD于点F，由△ECD都是等边三角形，可得∠CED=∠CDE=60°，根据△BCE≌△ACD，得到∠CEB=∠CDA，利用外角的性质得到∠FOD=∠OED+∠ODE，所以∠FOD+∠FDO=∠OED+∠ODE+∠CEB=∠CED+∠ODE=60°+60°=120°，求得∠OFD=180°-（∠FOD+∠FDO）=180°-120°=60°．即BE与AD的夹角为60°．

解答 解：（1）∵△ABC、△ECD都是等边三角形，
∴AC=BC，EC=DC，∠ACB=∠ECD=60°，
∴∠ACB+∠BCD=∠ECD+∠BCD，
∴∠ACD=∠ECB，
在△BCE和△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=AC}\\{∠ACD=∠ECB}\\{EC=DC}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴AD=BE（全等三角形的对应边相等）．
（2）如图，延长EB交AD于点F，

∵△ECD都是等边三角形，
∴∠CED=∠CDE=60°，
∵△BCE≌△ACD，
∴∠CEB=∠CDA，
∵∠FOD=∠OED+∠ODE，
∴∠FOD+∠FDO=∠OED+∠ODE+∠CEB=∠CED+∠ODE=60°+60°=120°，
∴∠OFD=180°-（∠FOD+∠FDO）=180°-120°=60°．
即BE与AD的夹角为60°．

点评 本题综合考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质．等边三角形的三条边都相等，三个内角都是60°，解决本题的关键是熟记等边三角形的性质．