Question

20．如图．已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作AE⊥CD，AE分别与CD，CB相交于点H，E，AH=2CH．
（1）求证：AH•AB=AC•BC；
（2）求sinB的值；
（3）如果CD=$\sqrt{5}$，求BE的值．

Answer 1

分析 （1）根据直角三角形的性质得到AD=CD，由等腰三角形的性质得到∠CAB=∠ACH，于是得到△ACH∽△ABC，根据相似三角形的性质即可得到结论；
（2）根据∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，可得出CD=BD，则∠B=∠BCD，再由AE⊥CD，可证明∠B=∠CAH，由AH=2CH，可得出CH：AC=1：$\sqrt{5}$，即可得出sinB的值；
（3）根据sinB的值，可得出AC：AB=1：$\sqrt{5}$，再由AB=2$\sqrt{5}$，得AC=2，则CE=1，从而得出BE．

解答 解：（1）∵∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，
∴AD=CD，
∴∠CAB=∠ACH，
∵AE⊥CD，
∴∠ACB=∠AHC=90°，
∴△ABC∽△CAH，
∴$\frac{AH}{BC}=\frac{AC}{AB}$，
∴AH•AB=AC•BC；

（2）∵∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，
∴CD=BD，
∴∠B=∠BCD，
∵AE⊥CD，
∴∠CAH+∠ACH=90°，
又∵∠ACB=90°
∴∠BCD+∠ACH=90°
∴∠B=∠BCD=∠CAH，即∠B=∠CAH，
∵AH=2CH，
由勾股定理得AC=$\sqrt{5}$CH，
∴CH：AC=1：$\sqrt{5}$，
∴sinB=$\frac{\sqrt{5}}{5}$；

（3）∵sinB=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴AC：AB=1：$\sqrt{5}$，
∴AC=2．
∵∠CAH=∠B，
∴sin∠CAH=sinB=$\frac{\sqrt{5}}{5}$=$\frac{1}{\sqrt{5}}$，
设CE=x（x＞0），则AE=$\sqrt{5}$x，则x²+2²=（$\sqrt{5}$x）²，
∴CE=x=1，AC=2，
在Rt△ABC中，AC²+BC²=AB²，
∵AB=2CD=2$\sqrt{5}$，
∴BC=4，
∴BE=BC-CE=3．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟记定理是解题的关键．