Question

14．如图，以△ABC的边BC为直径的⊙O交AC于点D，过点D作⊙O的切线交AB于点E．
（1）如图1，若∠ABC=90°，求证：OE∥AC；
（2）如图2，已知AB=AC，若sin∠ADE=$\frac{1}{3}$，求tanA的值．

Answer 1

分析 （1）连结OD，如图1，根据切线的性质得∠ODE=90°，再证明Rt△OBE≌Rt△ODE得到∠1=∠2，加上∠3=∠C，则利用三角形外角性质可得∠2=∠C，然后根据平行线的判定可判断OE∥AC；
（2）连结OD，作OF⊥CD于F，DH⊥OC于H，如图2，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理，由AB=AC，OC=OD，∠ACB=∠OCD可得∠A=∠COD，根据切线的性质得∠ODE=90°，则∠ADE+∠ODF=90°，
而∠DOF+∠ODF=90°，利用等角的余角相等得∠ADE=∠DOF，于是有sin∠DOF=sin∠ADE=$\frac{1}{3}$，在Rt△DOF中，根据正弦的定义得到$\frac{DF}{OD}$=$\frac{1}{3}$，则可设DF=x，则OD=3x，利用勾股定理计算出OF=2$\sqrt{2}$x，DF=CF=x，OC=3x，接着可运用面积法计算出DH=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$x，然后在Rt△ODH中用勾股定理计算出OH=$\frac{7}{3}$x，再根据正切的定义求解即可．

解答 （1）证明：连结OD，如图1，
∵DE为⊙O的切线，
∴OD⊥DE，
∴∠ODE=90°，
在Rt△OBE和Rt△ODE中，
$\left\{\begin{array}{l}{OB=OD}\\{OE=OE}\end{array}\right.$，
∴Rt△OBE≌Rt△ODE，
∴∠1=∠2，
∵OC=OD，
∴∠3=∠C，
而∠1+∠2=∠C+∠3，
∴∠2=∠C，
∴OE∥AC；
（2）解：连结OD，作OF⊥CD于F，DH⊥OC于H，如图2，
∵AB=AC，OC=OD，
而∠ACB=∠OCD，
∴∠A=∠COD，
∵DE为⊙O的切线，
∴OD⊥DE，
∴∠ODE=90°，
∴∠ADE+∠ODF=90°，
而∠DOF+∠ODF=90°，
∴∠ADE=∠DOF，
∴sin∠DOF=sin∠ADE=$\frac{1}{3}$，
在Rt△DOF中，sin∠DOF=$\frac{DF}{OD}$=$\frac{1}{3}$，
设DF=x，则OD=3x，
∴OF=$\sqrt{O{D}^{2}-D{F}^{2}}$=2$\sqrt{2}$x，DF=CF=x，OC=3x，
∵$\frac{1}{2}$DH•OC=$\frac{1}{2}$OF•CD，
∴DH=$\frac{2\sqrt{2}x•2x}{3x}$=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$x，
在Rt△ODH中，OH=$\sqrt{O{D}^{2}-D{H}^{2}}$=$\frac{7}{3}$x，
∴tan∠DOH=$\frac{DH}{OH}$=$\frac{\frac{4\sqrt{2}}{3}x}{\frac{7}{3}x}$=$\frac{4\sqrt{2}}{7}$，
∴tan∠A=$\frac{4\sqrt{2}}{7}$．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了解直角三角形．