已知:如图.O1为x轴上一点.以O1为圆心作⊙O1交x轴于C.D两点.交y轴于M.N两点.∠CMD的外角平分线交⊙O1于点E.直线DM的解析式为y=3x+3．(1)如图1.求⊙O1的半径及点E的坐标,(2)如图1.求证:MC-MD=$\sqrt{2}$ME,(3)如图2.AB是弦.且AB∥CD.过E作EF⊥BC于F.若A.B为$\widehat{CND}$上两动点.试问BF.CF.AC之� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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5．已知：如图，O₁为x轴上一点，以O₁为圆心作⊙O₁交x轴于C，D两点，交y轴于M，N两点，∠CMD的外角平分线交⊙O₁于点E，直线DM的解析式为y=3x+3．
（1）如图1，求⊙O₁的半径及点E的坐标；
（2）如图1，求证：MC-MD=$\sqrt{2}$ME；
（3）如图2，AB是弦，且AB∥CD，过E作EF⊥BC于F，若A，B为$\widehat{CND}$上两动点，试问BF，CF，AC之间是否存在某种等量关系？请写出你的结论，并证明．

分析（1）根据直线解析式解出D，M坐标，再根据△DMO∽△DCM，列比例式解出圆的直径长，连接EO₁，利用直角三角形解出E点坐标．
（2）作辅助线，构建直角三角形，分别计算MC、MD和ME的长，可得结论；
（3）连接EC，过E作EH⊥AC于H，首先证∠ECF=∠ECH（可连接EA，利用圆内接四边形的性质来求），然后通过证△ECF、△ECH全等来解，再证明△EAH≌△EBF，根据对应边相等可得结论．

解答解：（1）如图1，∵直线DM的解析式为y=3x+3，
∴D（-1，0），M（0，3），
∴OD=1，OM=3，
∵△DMO∽△DCM，
∴$\frac{OD}{DM}=\frac{DM}{CD}$，
∴OD•CD=DM•DM，DM=$\sqrt{1+9}$=$\sqrt{10}$，
∴CD=$\sqrt{10}•\sqrt{10}$，
∴CD=10，半径为$\frac{1}{2}$CD=5．
连接EO₁，易知∠EO₁C=2∠EMC=90°．
∴点E的坐标（4，5）．

（2）如图2，由勾股定理得：MC=$\sqrt{{3}^{2}+{9}^{2}}$=3$\sqrt{10}$，
MD=$\sqrt{10}$，
过M作MN⊥O1E于N，则EN=5-3=2，MN=4，
由勾股定理得：ME=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴$\sqrt{2}$ME=$\sqrt{2}$×$2\sqrt{5}$=2$\sqrt{10}$，
∴MC-MD=3$\sqrt{10}$-$\sqrt{10}$=2$\sqrt{10}$=$\sqrt{2}$ME；

（3）如图3，连接EC，过E作EH⊥AC于H，连接EA、EB、EC；
又∵∠EO₁C=90°，AB∥CD，
∴$\widehat{AD}=\widehat{BC}$，
∴$\widehat{ECB}$=$\widehat{EDN}$，
∴∠ECH=∠EAB
∵E、A、B、C四点共圆，
∴∠EAB=∠ECF，
∴∠ECH=∠ECF，
又∵EC=EC，∠EHC=∠EFC=90°，
∴△ECF≌△ECH，得出CF=CH，EH=EF；
又∵∠EAC=∠EBC，
∴△EAH≌△EBF，
∴BF=AH，
∴BF+CF=AH+CH=AC．

点评本题是圆的综合题，考查了三角形的外接圆，全等三角形的证明、四点共圆的性质、圆周角定理以及图形与坐标特点等知识，并与一次函数相结合，综合性较强，尤其是第三问，作辅助线是关键．

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10．

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组别	成绩分组（单位：分）	频数	频率
A	50≤x＜60	40	0.08
B	60≤x＜70	70	0.14
C	70≤x＜80	90	c
D	80≤x＜90	a	0.40
E	90≤x≤100	100	0.20
	合计	b	1