Question

如图，在矩形ABCD中（AB＞AD），E为线段AD上的一个动点（点E不与A，D两点重合），连接FC，过E点作EF⊥EC交AB于F，连接FC．
（1）△AEF与△DCE是否相似？并说明理由；
（2）E点运动到什么位置时，EF平分∠AFC，证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）相似．用∠FEC=90°，可得到△AEF和△DCE一对锐角相等，再加上一对直角相等，可证相似．
（2）有EF平分∠AFC，可得∠AFE=∠EFC，那么两角在各自直角三角形里的正切值相等，可

AE

AF

=

CE

EF

，再由（1）知△AEF∽△DCE，又可得到比例线段：

DE

AF

=

CE

EF

，两式联合可得，

AE

AF

=

DE

AF

，就有AE=DE，即E是AD中点时，EF平分∠AFC．

解答：解：（1）∵∠FEC=90°∴∠AEF+∠DEC=90°，
而ABCD是矩形，∴∠AFE+∠AEF=90°，∴∠DEC=∠AFE，
又∵∠A=∠D，∴△AEF∽△DCE．

（2）∵EF平分∠AFC，∴∠AFE=∠EFC，∴tan∠CFE=

CE

EF

，
同理可得，tan∠AFE=

AE

AF

，∴

AE

AF

=

CE

EF

，
又∵△AEF∽△DCE，∴

DE

AF

=

CE

EF

，∴

AE

AF

=

DE

AF

∴AE=DE，∴E是AD的中点时，AE平分∠AFC．

点评：本题利用了相似三角形的判定和性质，以及等角的正切相等等知识．