Question

4．已知点F是等边△ABC的边BC延长线上一点，以CF为边，作菱形CDEF，使菱形CDEF与等边△ABC在BC的同侧，且CD∥AB，连结BE．
（1）如图①，若AB=10，EF=8，请计算△BEF的面积；
（2）如图②，若点G是BE的中点，连接AG、DG、AD．试探究AG与DG的位置和数量关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）如图1，作高线EH，利用平行线的性质得：∠FEH=30°，则FH=$\frac{1}{2}EF=4$，利用勾股定理求EH的长，利用三角形面积公式求面积即可；
（2）如图2，作辅助线，构建全等三角形，先证△BGM≌△EGD，则BM=ED=CD，MG=DG，再证明△ABM≌△ACD，则∠BAM=∠CAD，AM=AD，所以△MAD是等边三角形，由三线合一可得结论．

解答 解：（1）如图1，∵等边△ABC，
∴BC=AB=10，∠ABC=60°，
∵AB∥CD，
菱形DCFE中，DC∥EF，
∴AB∥EF，
∴∠EFH=∠ABC=60°，
∵EH⊥CF
∴∠FEH=30°
∴FH=$\frac{1}{2}EF=4$，
∴EH=$\sqrt{{8}^{2}-{4}^{2}}$=4$\sqrt{3}$，
∵菱形CFED，EF=8，
∴CF=EF=8，
∴BF=BC+EF=18，
∴${S_{△BFE}}=\frac{1}{2}BF•EH=\frac{1}{2}×18×4\sqrt{3}=36\sqrt{3}$；

（2）AG⊥GD，AG=$\sqrt{3}$DG；                 
理由如下：
如图2，延长DG与BC交于M，连接AM，
∵四边形CDEF是菱形，
∴DE=DC，DE∥CF，
∴∠GBM=∠GED，∠GMB=∠GDE，
∵G是BC的中点，
∴BG=EG，
在△BGH和△EGD中，
∴△BGM≌△EGD（AAS），
∴BM=ED=CD，MG=DG，
∵等边△ABC中，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
又∵AB∥CD
∴∠DCF=∠ABC=60°，
∴∠ACD=180°-（∠ACB+∠DCF）=60°，
∴∠ABC=∠ACD，
在△ABH和△ACD中，
∵$\left\{{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠ABC=∠ACD}\\{BM=CD}\end{array}}\right.$，
∴△ABM≌△ACD（SAS），
∴∠BAM=∠CAD，AM=AD，
∴∠MAD=∠BAC=60°；                  
∵AD=AM，MG=DG，
∴△MAD是等边三角形，
∴AG⊥MD，∠MAG=∠DAG=30°，
∴AG：DG=$\sqrt{3}：1$，
∴AG=$\sqrt{3}$DG．

点评 本题是四边形的综合题，难度适中，考查了菱形的性质、等边三角形的性质和判定、等腰三角形的三线合一的性质、三角形全等的性质和判定等知识，第二问是常考题型，构建辅助线，证明△AMD是等腰三角形是关键．