Question

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+c与一次函数经过点A（0，3），且抛物线的顶点坐标为C（1，4），过A点做x轴的平行线交抛物线于D点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接DC，AC，试在抛物线上找出点P，使得7S_△ACD=S_△PAD；
（3）直线与对称轴交于B点，试在直线AD上找出一点E，使得E到B点的长度和到直线的距离之和最短．

Answer 1

解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+c过点A（0，3），且抛物线的顶点坐标为C（1，4），
解得，
∴此抛物线的解析式为：y=-x²+2x+3；

（2）如图1，
∵A（0，3），C（1，4），AD∥x轴，
∴D（2，3），
∴CF=1，
设P（x，-x²+2x+3），
∵点C是抛物线的顶点坐标，
∴点P必在x轴下方，
∵△ACD与△PAD同底，7S_△ACD=S_△PAD，
∴-（-x²+2x+3）=7，解得x=1-或x=1+（舍去），
∴P（1-，-7）；

（3）∵点A（0，3）在直线y=x+m上，
∴m=3，
∴直线y=x+m的解析式为y=x+3，
∵C（1，4），
∴直线CF的解析式为x=1，
∴B（1，+3），
如图2，作点B关于x轴的对称点B′，过点B′作直线y=x+m的垂线交直线AD于点E，则E点即为所求，
∵直线B′E⊥AB，
∴设直线B′E的解析式为y=-x+b，
∵点B与点B′关于直线AD对称，AD∥x轴，AD的解析式为y=3，
∴B′（1，3-），
∴3-=-+b，解得b=3+，
∴直线B′E的解析式为y=-x+3+，
∴当y=3时，x=，
∴E（，3）．
分析：（1）根据抛物线y=ax²+bx+c过点A（0，3），且抛物线的顶点坐标为C（1，4）列出关于a、b、c的方程组，求出a、b、c的值即可得出抛物线的解析式；
（2）先根据抛物线的顶点坐标为（1，4），故可得出D点坐标，由于抛物线的顶点坐标为（1，4），所以P点必在x轴的下方，设P点坐标为（x，-x²+2x+3），则-x²+2x+3＜0，再根据7S_△ACD=S_△PAD求出x的值即可；
（3）把点A（0，3）代入直线y=x+m求出m的值，故可得出直线的解析式，作点B关于x轴的对称点B′，过点B′作直线y=x+m的垂线交直线AD于点E，根据互相垂直的两条直线斜率的积等于1求出直线B′E的解析式，故可得出E点坐标．
点评：本题考查的是二次函数综合题，熟知用待定系数法求一次函数及二次函数的解析式是解答此题的关键．