Question

已知a+b=1，ab=-1，设s₁=a+b，s₂=a²+b²，s₃=a³+b³，…，s_n=aⁿ+bⁿ
（1）计算s₂；
（2）请阅读下面计算s₃的过程：

因为a+b=1，ab=-1，
所以s₃=a³+b³=（a+b）（a²+b²）-ab（a+b）=1×s₂-（-1）=s₂+1=

 

你读懂了吗？请你先填空完成（2）中s₃的计算结果，再用你学到的方法计算s₄．
（3）试写出s_n-2，s_n-1，s_n三者之间的关系式；
（4）根据（3）得出的结论，计算s₆．

Answer 1

考点：因式分解的应用

专题：

分析：（1）（2）利用完全平方公式进行化简，然后代入a+b，ab的值，即可推出结论；
（3）根据（1）所推出的结论，即可推出S_n-2+S_n-1=S_n；
（4）根据（3）的结论，即可推出a⁶+b⁶=S₆=S₄+S₅=2S₄+S₃．

解答：解：（1）S₂=a²+b²=（a+b）²-2ab=3；

（2）∵（a²+b²）（a+b）=a³+ab²+a²b+b³=a³+b³+ab（a+b），
∴3×1=a³+b³-1，
∴a³+b³=4，即S₃=4；
∵S₄=（a²+b²）²-2（ab）²=7，
∴S₄=7；

（3）∵S₂=3，S₃=4，S₄=7，
∴S₂+S₃=S₄，
∴S_n-2+S_n-1=S_n；

（3）∵S_n-2+S_n-1=S_n，S₂=3，S₃=4，S₄=7，
∴S₅=4+7=11，
∴S₆=7+11=18．

点评：本题主要考查整式的混合运算、完全平方公式的运用，关键在于根据题意推出S₂=3，S₃=4，S₄=7，分析归纳出规律：S_n-2+S_n-1=S_n．