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如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长,那么我们称这个三角形为“趣味三角形”.
(1)现请你用直尺与圆规画一个“趣味三角形”(保留作图痕迹);
(2)在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=
3
,AC=2,求证:△ABC是“趣味三角形”;
(3)在△ABC中,AB=AC=4,若△ABC是“趣味三角形”,求BC的长.
考点:作图—应用与设计作图,勾股定理
专题:作图题,证明题,新定义,分类讨论
分析:(1)利用趣味三角形的定义直接得出AB中点位置,进而得出答案;
(2)利用趣味三角形的定义,证明AC=BD即可;
(3)利用“趣味三角形”的定义利用分类讨论得出即可.
解答:(1)解:如图所示:


(2)证明:取AC中点D,连接BD,
∵AC=2,∴CD=1,
∵∠C=90°,BC=
3

∴BD=
BC2+CD2
=2,
∴AC=BD,
∴△ABC是“趣味三角形”;

(3)解:如图3所示:取BC的中点D,连接AD,
当AD=BC时,△ABC是“趣味三角形”,
∵AB=AC=4,∴BD=DC=
1
2
BC,
在Rt△ABD中,BD2+AD2=AB2
∴(
1
2
BC)2+BC2=42
解得:BC=
64
5
=
8
5
5

如图4,取AC中点D,连接BD,
当BD=AC时,△ABC是“趣味三角形”,
∵AB=AC=4,
∴AD=DC=2,
由勾股定理得:
BC2-CE2=AB2-AE2
∵AB=BD=4,
∴AE=ED=1,
∴EC=3,
解得:BC=
24
=2
6
点评:此题主要考查了应用作图与设计以及新定义,利用分类讨论得出是解题关键.
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