Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B的直线交x轴于点C，且△ABC面积为10．

（1）求点C的坐标及直线BC的解析式；

（2）如图1，设点F为线段AB中点，点G为y轴上一动点，连接FG，以FG为边向FG右侧作长形FGQP，且FG：GQ＝1：2，在G点的运动过程中，当顶点Q落在直线BC上时，求点G的坐标；

（3）如图2，若M为线段BC上一点，且满足S△AMB＝S△AOB，点E为直线AM上一动点，在x轴上是存在点D，使以点D，E，B，C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）C（3，0），y＝﹣x+4；（2）（，）；（3）存在，点D的坐标为：（，0）或（﹣，0）或（﹣，0）．

【解析】

（1）直线y＝2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，则点A、B的坐标分别为：（﹣2，0）、（0，4），△ABC面积＝×AC×OB＝AC×4＝10，解得：AC＝5，故点C（3，0），

将点B、C的坐标代入一次函数表达式，即可求解；

（2）证明△GNQ∽△FMG，则，即，故点Q（2m﹣4，m﹣2），即可求解；

（3）分BC是平行四边形的边、BC是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可．

解：（1）直线y＝2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，则点A、B的坐标分别为：（﹣2，0）、（0，4），

△ABC面积＝×AC×OB＝AC×4＝10，解得：AC＝5，故点C（3，0），

将点B、C的坐标代入一次函数表达式并解得：

直线BC的表达式为：y＝﹣x+4…①；

（2）设点E（m，m+），点D（n，0），点F为线段AB中点，则点F（﹣1，2），

过点G作x轴的平行线MN，过点F、Q分别作y轴的平行线分别交MN于点M、N，

∵∠MGF+∠GFM＝90°，∠MGF+∠NGQ＝90°，∴∠NGQ＝∠GFM，

∠GNQ＝∠FMG＝90°，

∴△GNQ∽△FMG，

∴，即，

故：GN＝2m﹣4，QN＝2，故点Q（2m﹣4，m﹣2），

将点Q的坐标代入y＝﹣x+4并解得：m＝，

故点Q（，）；

（3）S△AMB＝S△AOB，则OM∥AB，

则直线OM的表达式为：y＝2x…②，

联立①②并解得：x＝，故点M（，），

同理直线AM的表达式为：y＝x+，

设点E（m，m+），点D（n，0），

①当BC是平行四边形的边时，

点B向右平移3个单位向下平移4个单位得到C，

同样点E（D）向右平移3个单位向下平移4个单位得到D（E），

则m+3＝n，m+﹣4＝0或m﹣3＝n，m++4＝0，

解得：n＝或n＝﹣；

②当BC是平行四边形的对角线时，

由中点公式得：m+n＝3，m++4＝0，

解得：n＝﹣，

故点D的坐标为：（，0）或（﹣，0）或（﹣，0）．