Question

如图，已知正方形网格中每个小正方形的边长为1，点O、M、N、A、B、C都是小正方形的顶点．
（1）记向量

OM

=

a

，

ON

=

b

，试在该网格中作向量

BD

=2

a

-2

b

，并计算|

BD

|；
（2）连接AD，试判断以A、B、D为顶点的三角形与△ABC是否相似，并证明你的结论；
（3）连接CD，试判断∠BDC与∠ACB的大小关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）根据平行四边形法则作向量

BD

=2

a

-2

b

；小正方形的两条对角线的长度即为所求；
（2）根据三角形三边对应成比例证明相似或对应边成比例，夹角相等来证明相似；
（3）借助于相似三角形（△ABD∽△CBA）的性质来计算．

解答：解：（1）作向量

BD

=2

a

-2

b

；
|

BD

|=2

2

；

（2）相似．
根据题意得，∠ABD=∠CBA=135°（1分）
AB=2，BD=2

2

，BC=

2

（1分）
∴

AB

BD

=

BC

AB

（1分）
∴△ABD∽△CBA（注：利用三角形三边对应成比例证明相似同样正确）（1分）

（3）经计算得，AC=CD，
∴∠CAD=∠CDA
又△ABD∽△CBA，
∴∠ADB=∠CAB
∴∠CAD-∠CAB=∠CDA-∠ADB
即∠BAD=∠BDC（2分）
∵∠BAD=∠BCA，
∴∠BDC=∠ACB（1分）
【或：计算得tan∠BDC=

1

2

，tan∠ACB=tan∠DAB=

1

2

，得证．】

点评：本题主要考查了平面向量、相似三角形的判定与性质．本题的综合性比较强，但是难度不大，在解题过程中，只要多一份细心，就会多一分收获的．