Question

15．如图，抛物线l₁为y₁=ax²+ax+1经过点（-$\frac{1}{2}$，$\frac{9}{8}$），且与x轴交于点A，B，与y₁轴交于点C，将抛物线l₁向右平移1个单位，所得抛物线作关于x轴的轴对称变换得抛物线l₂并且抛物线l₂与x轴交于点D，与y轴交于点E．
（1）求a的值及抛物线l₂的解析式；
（2）点M（0，$\frac{1}{2}$），直线a平行于y轴，分别交抛物线l₁于点F，l₂于点N，则当点O，M，F，N为顶点的四边形是平行四边形时，求平行四边形OMFN的面积；
（3）点P是抛物线l₁上的点，过点P作y轴的垂线，垂足为G，使tan∠OPG=$\frac{1}{2}$，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （　　）1）把点（-$\frac{1}{2}$，$\frac{9}{8}$）代入y₁=ax²+ax+1中求出a即可得到抛物线l₁的解析式，再把y₁=-$\frac{1}{2}$x²+-$\frac{1}{2}$x+1配成顶点式得到y₁=-$\frac{1}{2}$（x+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{9}{8}$，利用根据抛物线的几何变换确定抛物线l₂的解析式；
（2）设F（x，-$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{2}$x+1），则N（x，$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{2}$x-1），如图，FN=|x²-2|，利用平行四边形的性质FN=OM，即|x²-2|=$\frac{1}{2}$，再分别解方程x²-2=$\frac{1}{2}$和x²-2=-$\frac{1}{2}$，然后根据平行四边形的面积公式计算对应的四边形的面积；
（3）如图，设P（m，n），利用正切定义得到|$\frac{m}{n}$|=$\frac{1}{2}$，则根据待定系数法可确定直线OP的解析式为y=$\frac{1}{2}$x或y=-$\frac{1}{2}$x，再分别解解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x}\\{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}-\frac{1}{2}x+1}\end{array}\right.$和方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x}\\{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}-\frac{1}{2}x+1}\end{array}\right.$可得到P点坐标．

解答 解：（1）把点（-$\frac{1}{2}$，$\frac{9}{8}$）代入y₁=ax²+ax+1得$\frac{1}{4}$a-$\frac{1}{2}$a+1=$\frac{9}{8}$，解得a=-$\frac{1}{2}$，
所以抛物线l₁的解析式为y₁=-$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{2}$x+1，
y₁=-$\frac{1}{2}$x²+-$\frac{1}{2}$x+1=-$\frac{1}{2}$（x+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{9}{8}$，把抛物线l₁向右平移1个单位，所得抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{2}$（x+$\frac{1}{2}$-1）²+$\frac{9}{8}$，即y=-$\frac{1}{2}$（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{9}{8}$
抛物线y=-$\frac{1}{2}$（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{9}{8}$关于x轴的轴对称变换得抛物线l₂的解析式为y=$\frac{1}{2}$（x-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{9}{8}$，即y₂=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{2}$x-1；
（2）设F（x，-$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{2}$x+1），则N（x，$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{2}$x-1），如图，
∴FN=|-$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{2}$x+1-（x，$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{2}$x-1）|=|x²-2|，
∵点O，M，F，N为顶点的四边形是平行四边形，
而FN∥OM，
∴FN=OM，即|x²-2|=$\frac{1}{2}$，
当x²-2=$\frac{1}{2}$，解得x₁=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，x₂=-$\frac{\sqrt{10}}{2}$，此时平行四边形的面积=$\frac{1}{2}$•$\frac{\sqrt{10}}{2}$=$\frac{\sqrt{10}}{4}$；
当x²-2=-$\frac{1}{2}$，解得x₁=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，x₂=-$\frac{\sqrt{6}}{2}$，此时平行四边形的面积=$\frac{1}{2}$•$\frac{\sqrt{6}}{2}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$，
综上所述，平行四边形OMFN的面积为$\frac{\sqrt{10}}{4}$或$\frac{\sqrt{6}}{4}$；
（3）如图，设P（m，n）
∵tan∠OPG=$\frac{PG}{OG}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{|m|}{|n|}$=$\frac{1}{2}$，即|$\frac{m}{n}$|=$\frac{1}{2}$，
设直线OP的解析式为y=kx，
把P（m，n）代入得k=$\frac{m}{n}$，所以k=$\frac{1}{2}$或k=-$\frac{1}{2}$，
∴直线OP的解析式为y=$\frac{1}{2}$x或y=-$\frac{1}{2}$x，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x}\\{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}-\frac{1}{2}x+1}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}-1}\\{y=\frac{\sqrt{3}-1}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-\sqrt{3}-1}\\{y=\frac{-\sqrt{3}-1}{2}}\end{array}\right.$，此时P点坐标为（$\sqrt{3}$-1，$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$）或（-$\sqrt{3}$-1，$\frac{-\sqrt{3}-1}{2}$）；
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x}\\{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}-\frac{1}{2}x+1}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}}\\{y=-\frac{\sqrt{2}}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-\sqrt{2}}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}}\end{array}\right.$，此时P点坐标为（$\sqrt{2}$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）或（-$\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
综上所述，满足条件的P点坐标为（$\sqrt{3}$-1，$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$）或（-$\sqrt{3}$-1，$\frac{-\sqrt{3}-1}{2}$）或（$\sqrt{2}$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）或（-$\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和平行四边形的性质；会利用待定系数法求函数的解析式，会进行二次函数图象的几何变换；理解坐标与图形的性质；运用分类讨论的思想解决数学问题．