Question

2．如图所示：以△OEF的两边OE，OF为边向外作两个正六边形，正六边形OABCDE，正六边形OFGHMN．则下列结论正确的是：①△EON≌△AOF；②∠AKE=90°；③△PKQ为等边三角形；④PQ∥EF；⑤OK平分∠EOF，则下列选项正确的是（　　）

• A． ①、②、③、④、⑤
• B． ②、③、④
• C． ①、⑤
• D． ③、④、⑤

Answer 1

分析 ①⑤正确，只要证明△AOF≌△EON即可解决问题；②错误．只要证明∠PKE=∠AOP=120°即可判断．观察图象可知③④结论不成立，由此即可判断．

解答 解：如图，作OT⊥AF于T，OR⊥EN于R．

在正六边形OABCDE，正六边形OFGHMN中，
∵OA=OE，OF=ON，∠AOE=∠NOF=120°，
∴∠AOF=∠NOE，
在△AOF和△EON中，
$\left\{\begin{array}{l}{OA=OE}\\{∠AOF=∠EON}\\{OF=ON}\end{array}\right.$，
∴△AOF≌△EON，故①正确，
∴∠OAP=∠KEP，
∵∠EPK=∠APO，
∴∠AOP=∠PKE=120°，故②错误，
∵△AOF≌△EON，
∴S_△AOF=S_△OEN，AF=EN，
∴$\frac{1}{2}$•AF•OT=$\frac{1}{2}$•EN•OR，
∴OT=OR，
∵OT⊥AK，OR⊥KN，
∴OK平分∠AKN，故⑤正确，
观察图象可知，PQ与EF不平行，△KPQ不是等边三角形，
故选C．

点评 本题考查三角形综合题、正六边形的性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的判定定理、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用“8字型”证明角相等，属于中考选择题中的压轴题．