Question

已知，如图1，正方形ABCD和正方形BEFG，三点A、B、E在同一直线上，连接AG和CE，
（1）判定线段AG和线段CE有什么关系？请说明理由．
（2）将正方形BEFG，绕点顺时针旋转到图2的位置时，（1）中的结论是否成立？请说明理由．
（3）若在图2中连接AE和CG，且AE=2CG=4，求正方形ABCD和正方形BEFG的面积之和为______．（直接写出结果）．

Answer 1

解：（1）AG=CE．
理由如下：在正方形ABCD和正方形BEFG中，AB=CB，BG=BE，∠ABG=∠CBE=90°，
在△ABG和△CBE中，
∵，
∴△ABG≌△CBE（SAS），
∴AG=CE；

（2）AG=CE仍然成立．
理由如下：在正方形ABCD和正方形BEFG中，AB=CB，BG=BE，∠ABC=∠EBG=90°，
∵∠ABG=∠ABC+∠CBG，
∠CBE=∠EBG+∠CBG，
∴∠ABG=∠CBE，
在△ABG和△CBE中，
∵，
∴△ABG≌△CBE（SAS），
∴AG=CE；

（3）如图2，连接AC、EG，设AG、CE交点为H，
∵△ABG≌△CBE，
∴∠BAG=∠BCE，
∴∠CAH+∠ACH=∠CAH+∠ACH+∠BCE=∠CAH+∠ACH+∠BAG=∠CAH+∠BAC=90°，
∴AG⊥CE，
在Rt△CGH中，CG²=CH²+GH²，
在Rt△AEG中，AE²=AH²+EH²，
∴CG²+AE²=CH²+GH²+AH²+EH²=（CH²+AH²）+（GH²+EH²）=AC²+EG²，
∵AE=2CG=4，
∴CG=2，
∴AC²+EG²=2²+4²=20，
∴正方形ABCD和正方形BEFG的面积之和为×20=10．
故答案为：10．
分析：（1）根据正方形的性质可得AB=CB，BG=BE，∠ABG=∠CBE=90°，然后利用“边角边”证明△ABG和△CBE全等，再根据全等三角形对应边相等即可得证；
（2）先求出∠ABG=∠CBE，然后利用“边角边”证明△ABG和△CBE全等，再根据全等三角形对应边相等即可得证；
（3）连接AC、EG，设AG、CE交点为H，根据全等三角形对应角相等可得∠BAG=∠BCE，然后求出∠CAH+∠ACH=90°，从而证明得到AG⊥CE，再根据勾股定理求出AC²+EG²=CG²+AE²，然后根据正方形的面积等于对角线平方的一半求解即可．
点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，（3）证明得到AG⊥CE，然后利用勾股定理得到AC²+EG²=CG²+AE²是解题的关键．