Question

如图1，平面直角坐标系中，⊙O₁与x轴相切于点A，与y轴相交于点B、C两点，连接AB、O₁B．
（1）求证：∠ABO₁=∠ABO；
（2）若点O₁的坐标为（-

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，-2），直接写出点B、C的坐标
（3）如图2，在（2）的条件下，过A、B两点作⊙O₂与y轴的正半轴交于点M，与O₁B的延长线交于点N，当⊙O₂的大小变化时，给出下列两个结论：①BM-BN的值不变；②BM+BN的值不变；其中有且只有一个结论是正确的，请你判断哪一个结论正确，证明正确的结论并求出其值．

Answer 1

分析：（1）连接O₁A，由圆O₁与x轴切于A，根据切线的性质得到O₁A垂直于OA，由OB与AO垂直，根据平面内垂直于同一条直线的两直线平行，得到O₁A与OB平行，根据两直线平行内错角相等，得到一对内错角相等，再由O₁A=O₁B，根据等边对等角可得出一对角相等，等量代换可得出∠ABO₁=∠ABO，得证；
（2）作O₁E⊥BC于点E，根据垂径定理得到E为BC的中点，由点O₁的坐标为（-

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，-2），可求得OE=O₁B=O₁A=2，O₁E=OA=

3

，然后由勾股定理求得BE的长，继而求得OB与OC的长，则可求得点B、C的坐标；
（3）两个结论中，①BM-BN的值不变正确，理由为：在MB上取一点G，使MG=BN，连接AM、AN、AG、MN，由∠ABO₁为四边形ABMN的外角，根据圆内接四边形的外角等于它的内对角，可得出∠ABO₁=∠NMA，再由∠ABO₁=∠ABO，等量代换可得出∠ABO=∠NMA，然后利用同弧所对的圆周角相等可得出∠ABO=∠ANM，等量代换可得出∠NMA=∠ANM，根据等角对等边可得出AM=AN，再由同弧所对的圆周角相等，及OM=BN，利用SAS可得出三角形AMG与三角形ABN全等，根据全等三角形的对应边相等可得出AG=AB，由AO与BG垂直，根据三线合一得到O为BG的中点，根据OB的长求出BG的长，然后BM-BN=BM-MG=BG，由BG为常数得到BM-BN的长不变，得证．

解答：解：（1）连接O₁A，则O₁A⊥OA，
又∵OB⊥OA，
∴O₁A∥OB，
∴∠O₁AB=∠ABO，
又∵O₁A=O₁B，
∴∠O₁AB=∠O₁BA，
∴∠ABO₁=∠ABO；

（2）过点作O₁E⊥BC于点E，
∴BE=CE，
∵点O₁的坐标为（-

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，-2），
∴OE=O₁B=O₁A=2，O₁E=OA=

3

，
∴在Rt△BO₁E中，BE=

O1B2-O1E2

=1，
∴OB=OE-BE=2-1=1，OC=OE+CE=2+1=3，
∴点B的坐标为：（0，-1），点C的坐标为：（0，-3）；

（3）①正确．
理由为：在MB上取一点G，使MG=BN，连接AM、AN、AG、MN，
∵∠ABO₁为四边形ABMN的外角，
∴∠ABO₁=∠NMA，
又∵∠ABO₁=∠ABO，
∴∠ABO=∠NMA，
又∵∠ABO=∠ANM，
∴∠AMN=∠ANM，
∴AM=AN，
∵∠AMG和∠ANB都为

AB

所对的圆周角，
∴∠AMG=∠ANB，
∵在△AMG和△ANB中，

AM=AN ∠AMG=∠ANB MG=BN

，
∴△AMG≌△ANB（SAS），
∴AG=AB，
∵AO⊥BG，
∴BG=2BO=2，
∴BM-BN=BM-MG=BG=2其值不变．

点评：此题考查了切线的性质，坐标与图形性质，垂径定理，圆周角定理，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，以及全等三角形的判定与性质．此题综合性较强，难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．