Question

4．如图在平面直角坐标系中，矩形OABC的一顶点为坐标原点O，边OA、OC分别落在x轴和y轴上，点B的坐标为（2，1）；矩形OA′B′C′是由矩形OABC旋转而来的，∠C′OA=150°．
（1）旋转中心是哪一个点？
（2）逆时针旋转了多少度？
（3）请分别求出点A′和点C′的坐标．

Answer 1

分析 （1）由矩形OA′B′C′是由矩形OABC旋转而来，根据旋转的定义可判断旋转中心；
（2）先计算出∠C′OC，然后根据旋转的性质可得到旋转角的度数；
（3）作A′D⊥OA于D，C′E⊥y轴于E，如图，根据旋转的性质得OC′=OC=1，OA′=OA=2，∠A′OA=∠C′OC=60°，再根据含30度的直角三角形三边的关系，在Rt△A′OD中可计算出OD=$\frac{1}{2}$OA′=1，A′D=$\sqrt{3}$OD=$\sqrt{3}$，于是得到A′（1，$\sqrt{3}$），在Rt△COC′中可计算出OE=$\frac{1}{2}$OC′=$\frac{1}{2}$，C′H=$\sqrt{3}$OE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，于是可得到C′（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$）．

解答 解：（1）旋转中心是O点；
（2）∠C′OC=∠C′OA-∠COA=150°-90°=60°，
所以逆时针旋转了60度；
（3）作A′D⊥OA于D，C′E⊥y轴于E，如图，
∵点B的坐标为（2，1），
∴OA=2，AB=OC=1，
∵矩形OA′B′C′是由矩形OABC绕点O逆时针旋转60°得到，
∴OC′=OC=1，OA′=OA=2，∠A′OA=∠C′OC=60°，
在Rt△A′OD中，OD=$\frac{1}{2}$OA′=1，A′D=$\sqrt{3}$OD=$\sqrt{3}$，
∴A′（1，$\sqrt{3}$）；
在Rt△COC′中，OE=$\frac{1}{2}$OC′=$\frac{1}{2}$，C′H=$\sqrt{3}$OE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴C′（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$）．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了坐标与图形性质和含30度的直角三角形三边的关系．