Question

矩形AOBC中，以O为圆心，OA为半径的圆交OB于点E，点P是DE上的一个动点，OC为矩形的对角线．
（1）求∠DAP的取值范围；
（2）①若P点移动后使DP∥OC时，连接CP试判断CP与⊙O的位置关系？说明理由；
②若CP与OB交于F，AP与OB交于H，当矩形的长AC与宽BC的比为

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：1时，按边分类请你判断△PFH的形状？并说明理由．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：（1）当P和D重合时∠DAP最小，当P和E重合时∠DAP最大，并且最大时根据圆周角定理即可求出∠DAP=

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∠DAE，又因为∠DAE=90°，进而求出∠DAP的取值范围；
（2）①CP与⊙O的位置关系是相切，连接OP，由矩形的性质可知∠OAC=90°，只要证明△OAC≌△OPC由全等三角形的性质即可得到∠OPC=∠OAC=90°，所以OP⊥CP，即CP与⊙O相切；②当矩形的长AC与宽BC的比为

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：1时，按边分类请你判断△PFH的形状是等边三角形，由特殊角的锐角三角函数值可知tan∠ACO=

AO

AC

=

3

3

，所以∠ACO=30°，由切线长定理和等边三角形的证明方法可证得：△ACP是等边三角形，∠APC=60°，根据三角形的内角和和对顶角相等再证明∠HFP=60°即可．

解答：解：（1）由题意可知：当P和D重合时∠DAP最小为0°，当P和E重合时∠DAP最大，
∵四边形AOBC是矩形，
∴∠AOB=90°，
∴∠DOE=90°，
∴当P和E重合时∠DAP最大=

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2

×90°=45°，
∴∠DAP的取值范围是：0°≤∠DAP≤45°；
（2）①若P点移动后使DP∥OC时，连接CP试判断CP与⊙O的位置关系是相切，理由如下：
连接OP，
∵OP=OD，
∴∠ODP=∠OPD，
∵DP∥OC，
∴∠ODP=∠AOC，∠POC=∠OPD，
∴∠AOC=∠POC
在△OAC和△OPC中，

AO=OP ∠AOC=∠POC OC=OC

，
∴△OAC≌△OPC（SAS），
∴∠OPC=∠OAC=90°，
∴OP⊥CP，
即CP与⊙O相切；
②当矩形的长AC与宽BC的比为

3

：1时，按边分类请你判断△PFH的形状是等边三角形，理由如下：
∵tan∠ACO=

AO

AC

=

3

3

，
∴∠ACO=30°，
∵△OAC≌△OPC，
∴∠ACO=∠PCO=30°，
∴∠ACP=60°，
∵AC=PC，
∴△ACP是等边三角形，
∴∠APC=60°，
∵四边形AOEC是矩形，
∴∠ACE=∠E=90°，
∴∠FCE=90°-60°=30°，
∴∠CFE=∠HFP=60°，
∴△PFH的形状是等边三角形．

点评：本题综合性的考查了矩形的性质、圆周角定理、全等三角形的判定和性质、切线的判定和性质以及等边三角形的判定和性质、特殊角的锐角三角函数值，题目的综合性很强，对学生的解题能力有很高的要求．