Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，点A、C分别在x轴、y轴上，四边形ABCO为矩形，AB=16，点D与点A关于y轴对称，AB：BC=4：3，点E、F分别是线段AD、AC上的动点（点E不与点A、D重合），且∠1=∠2．

（1）求AC的长和点D的坐标；

（2）求证：△AEF∽△DCE；

（3）当△EFC为等腰三角形时，求点E的坐标．

Answer 1

【答案】（1）AC=20，D的坐标为（12，0）；（2）证明见解析；（3）E（8，0）或E（，0）．

【解析】

（1）由tan∠ACB的值，求出cos∠ACB的值，再由矩形ABCO，以及AB的长，求出BC与AC的长，利用对称性确定出D坐标即可；
（2）由对称性得到∠CDE=∠CAO，利用等式的性质得到一对角相等，利用两角相等的三角形相似即可得证；
（3）当△EFC为等腰三角形时，有以下三种情况：当CE=EF；当EF=FC；当CE=CF时，利用相似三角形的判定与性质分别求出E坐标即可．

（1）由题意tan∠ACB=，
∴cos∠ACB=，
∵四边形ABCO为矩形，AB=16，
∴BC==20，
∴A（-12，0），
∵点D与点A关于y轴对称，
∴D（12，0）；
（2）∵点D与点A关于y轴对称，
∴∠CDE=∠CAO，
∵∠CEF=∠ACB，∠ACB=∠CAO，
∴∠CDE=∠CEF，
又∵∠AEC=∠AEF+∠CEF=∠CDE+∠DCE，
∴∠AEF=∠DCE，
∴△AEF∽△DCE；
（3）当△EFC为等腰三角形时，有以下三种情况：
①当CE=EF时，
∵△AEF∽△DCE，
∴△AEF≌△DCE，
∴AE=CD=20，
∴OE=AE-OA=20-12=8，
∴E（8，0）；
②当EF=FC时，过点F作FM⊥CE于M，则点M为CE中点，

∴CE=2ME=2EFcos∠CEF=2EFcos∠ACB=EF，
∵△AEF∽△DCE，
∴，即，
∴AE=，
∴DE=AE-OA=，
∴E（，0）；
③当CE=CF时，则有∠CFE=∠CEF，
∵∠CEF=∠ACB=∠CAO，
∴∠CFE=CAO，即此时点E与点D重合，这与已知条件矛盾，
综上所述，E（8，0）或（，0）．