Question

【题目】如图，已知E是正方形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于F．

（1）求证：△ABF∽△EAD；

（2）当AD=2，=时，求AF的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）；

【解析】

（1）由正方形的性质，结合BF⊥AE可求得∠ABF=∠DAE，则可证得结论；
（2）利用正方形的性质，结合已知条件可求得DE的长，利用勾股定理可求得AE的长，再利用相似三角形的性质可求得AF的长．

（1）证明：

∵四边形ABCD为正方形，

∴∠DAB=∠D=90°，

∵BF⊥AE，

∴∠AFB=∠D=90°，

∴∠ABF+∠BAF=∠BAF+∠DAE=90°，

∴∠ABF=∠DAE，

∴△ABF∽△EAD；

（2）解：

∵四边形ABCD为正方形，

∴AD=BC=AB=2，

∵=，

∴=，解得DE=，

在Rt△ADE中，由勾股定理可得AE===5，

∵△ABF∽△EAD，

∴=，即=，

∴AF=2．