Question

6．如图，已知AM∥BN．C为直线BN上一点，且∠MAC=70°，∠ABC=80°．点P从A出发，沿AM方向运动，∠PAC与∠PBC的角平分线相交于点D．
探究一：①当∠ABP=20°时，求角ADB的度数；
聪明的小华看到这一问题，采用了如下解题方法：如图2，过点D作DE∥AM，于是，他很快就得到了正确答案，即∠ADB=65°．
探究二：设∠ABP=α，∠ADB=β，试探究：
①若β不小于α，求α的取值范围；
②若点P运动的过程中，是否会出现α与β互补的情况？若会，请求出α与β的值；若不会，请说明理由．

Answer 1

分析 探究一：①如图2，根据平行线的性质得到∠1=∠2，∠3=∠4，由角平分线的定义得到$∠1=\frac{1}{2}∠PAC$=35°，∠3=$\frac{1}{2}$∠PBC=$\frac{1}{2}$（80°-20°）=30°，等量代换得到结论；
探究二：①如图2，根据平行线的性质得到∠1=∠2，∠3=∠4，由角平分线的定义得到$∠1=\frac{1}{2}∠PAC$=35°，∠3=$\frac{1}{2}$∠PBC=$\frac{1}{2}$（80°-α）=40°-$\frac{1}{2}α$，等量代换得到∠ADB=∠2+∠4=∠1+∠3=75°-$\frac{1}{2}α$=β，根据已知条件列不等式即可得到结论；
②根据①的结论列方程即可得到结论．

解答 解：探究一：①如图2，∵AM∥BN，DE∥AM，
∴BN∥DE，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∵∠PAC与∠PBC的角平分线相交于点D，
∴$∠1=\frac{1}{2}∠PAC$=35°，∠3=$\frac{1}{2}$∠PBC=$\frac{1}{2}$（80°-20°）=30°，
∴∠ADB=∠2+∠4=∠1+∠3=65°，
故答案为：65°；

探究二：①如图2，∵AM∥BN，DE∥AM，
∴BN∥DE，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∵∠PAC与∠PBC的角平分线相交于点D，
∴$∠1=\frac{1}{2}∠PAC$=35°，∠3=$\frac{1}{2}$∠PBC=$\frac{1}{2}$（80°-α）=40°-$\frac{1}{2}α$，
∴∠ADB=∠2+∠4=∠1+∠3=75°-$\frac{1}{2}α$=β，
∵β≥α，
∴75°-$\frac{1}{2}α$≥α，
∴0＜α≤50，
∴α的取值范围是：0＜α≤50．
②不会，
理由：∵75°-$\frac{1}{2}α$=β，
假设α+β=180°，
则75°-$\frac{1}{2}α$+α=180°，
解答α=210°＞180°，
∴不会出现α与β互补的情况．

点评 本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．