Question

4、如图，AB是半圆O的直径，C是半圆上一个动点，AD、BD分别平分∠BAC和∠ABC，延长AD分别与BC、半圆O交于点F、E，连接BE、CE．
（1）证明：△ABE∽△BFE；
（2）证明：△BDE是等腰直角三角形；
（3）如果四边形ABEC是梯形，试求∠ABC的大小．

Answer 1

分析：（1）需证明∠CBE=∠BAE，根据同弧所对的圆周角相等和角平分线的定义可证得；
（2）AB是半圆O的直径，那么∠DEB=90°，再证明∠EDB=∠EBD即可，可根据∠EDB=∠BAE+∠ABD，∠EBD=∠CBE+∠FB和（1）的结论证明；
（3））由于四边形ABEC是梯形，就有CE∥AB，可得∠CEA=∠BAE，可得∠CAE=∠BAE=∠ABC，又∠ACB=90°，∠ABC+∠CAE+∠BAE=90°（即3∠ABC=90°，∴∠ABC=30°）．

解答：证明：（1）∵AD平分∠BAC，
∴∠CAE=∠BAE．（1分）
又∵∠CAE=∠CBE（同弧所对的圆周角相等），
∴∠CBE=∠BAE．（2分）
又∵∠AEB=∠BEF，
∴△ABE∽△BFE．

（2）∵AB是半圆O的直径，
∴∠DEB=90°．（4分）
又∵AD平分∠BAC，BD平分∠ABC，
∴∠CAE=∠BAE，∠ABD=∠FBD．
又∵∠EDB=∠BAE+∠ABD，，
∠EBD=∠CBE+∠FBD
∠CAE=∠CBE（同弧所对的圆周角相等），
∴∠EDB=∠EBD．（5分）
∴△BDE是等腰直角三角形．

（3）∵四边形ABEC是梯形，
∴CE∥AB．
∴∠CEA=∠BAE．
又∵AD平分∠BAC，
∴∠CAE=∠BAE．
又∵∠CEA=∠ABC（同弧所对的圆周角相等），
∴∠CAE=∠BAE=∠ABC．
又∵∠ACB=90°，
∴∠ABC+∠CAE+∠BAE=90°（即3∠ABC=90°）．
∴∠ABC=30°．

点评：此题综合考查了相似三角形的判定、角平分线的定义、圆周角定理等知识点．