Question

附加题：如图，已知四边形ABCD是边长为2的正方形，以对角线BD为边作正三角形BDE，过E作DA的延长线的垂线EF，垂足为F．
（1）找出图中与EF相等的线段，并证明你的结论；
（2）求AF的长．

Answer 1

分析：（1）连接AE，首先证明△ABE≌△ADE得到∠BEA=30°，再根据题意∠EAF=∠AED+∠ADE=45°，又知EF⊥AD，故可得AF=EF，
（2）设AF=x，由勾股定理得EF²+FD²=ED²，列出等量关系式，解得x．

解答：解：（1）AF=EF；
理由如下：连接AE，
∵△DBE是正三角形，
∴EB=ED．
∵AD=AB，AE=AE，
∴△ABE≌△ADE．
∴∠BEA=∠DEA=

1

2

×60°=30°．
∵∠EDA=∠EDB-∠ADB=60°-45°=15°，
∴∠EAF=∠AED+∠ADE=45°．
∵EF⊥AD，
∴△EFA是等腰直角三角形．
∴EF=AF．

（2）设AF=x，
∵AD=2，BD=2

2

=ED，FD=2+x，
在Rt△EFD中，
由勾股定理得EF²+FD²=ED²
即x²+（2+x）²=（2

2

）²
∴x=

3

-1（x=-

3

-1舍去），∴AF=

3

-1．

点评：本题主要考查正方形的性质，还涉及到等边三角形的性质和勾股定理等知识点．