Question

【题目】如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，F是弧AD上的一点，AF，CD的延长线相交于点G．

（1）若⊙O的半径为3，且∠DFC＝45°，求弦CD的长．

（2）求证：∠AFC＝∠DFG．

Answer 1

【答案】（1）CD＝6；（2）证明见解析.

【解析】

（1）连接OD，OC，先证明△DOE是等腰直角三角形，再由垂径定理和勾股定理可得DE＝CE＝3，从而得CD的长；

（2）先由垂径定理可得：，则∠ACD＝∠AFC，根据圆内接四边形的性质得：∠DFG＝∠ACD，从而得结论．

（1）如图1，连接OD，OC，

∵直径AB⊥CD，

∴，DE＝CE，

∴∠DOE=∠DOC=∠DFC=45°，

又∵在Rt△DEO中，OD=，

∴DE＝3，

∴CD＝6；

（2）证明：如图2，连接AC，

∵直径AB⊥CD，

∴，

∴∠ACD＝∠AFC，

∵四边形ACDF内接于⊙O，

∴∠DFG＝∠ACD，

∴∠DFG＝∠AFC．