Question

【题目】已知：在△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC．

（1）如图1，P，Q是BC边上两点，AP=AQ，∠BAP=20°，求∠AQB的度数；

（2）点P，Q是BC边上两动点（不与B，C重合），点P在点Q左侧，且AP=AQ，点Q关于直线AC的对称点为M，连接AM，PM．

①依题意将图2补全；

②小明通过观察和实验，提出猜想：在点P，Q运动的过程中，始终有PM=PA．他把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成以下证明猜想的思路：

（Ⅰ）要想证明PM=PA，只需证△APM为等腰直角三角形；

（Ⅱ）要想证明△APM为等腰直角三角形，只需证∠PAM=90°，PA=AM；

…

请参考上面的思路，帮助小明证明PM=PA．

Answer 1

【答案】（1）∠AQB=65°；（2）①详见解析；②详见解析.

【解析】

（1）首先证明∠BAP=∠CAQ，再根据三角形的外角的性质计算即可；

（2）①根据要求画出图形即可；

②只要证明AP=AM，∠PAM=90°即可解决问题；

（1）解：如图1中，

∵AB=AC，∠BAC=90°

∴∠B=∠C=45°

∵AP=AQ，

∴∠APQ=∠AQC，

∵∠APQ=∠B+∠BAP，∠AQP=∠C+∠CAQ，

∴∠BAP=∠CAQ=20°，

∴∠AQB=45°+20°=65°．

（2）①解：如图2中所示：

②证明：∵Q、M关于AC对称，

∴AQ=AM，∠QAC=∠MAC，

∵∠BAP=∠CAQ，

∴∠BAP=∠CAM，

∴∠BAP+∠PAC=∠CAM+∠PAC，

即∠PAM=∠BAC=90°，

∵AP=AQ，

∴AP=AM，

∴△PAM是等腰直角三角形，

∴