Question

如图，△ABC为等腰直角三角形，AC=3，以BC为直径的半圆与斜边AB相交于点D，则图中阴影部分的面积为

 

．

Answer 1

分析：连接CD．构建直径所对的圆周角∠BDC=90°，然后利用等腰直角△ABC的性质：斜边上的中线是斜边的一半、中线与垂线重合，求得CD=BD=AD，从而求得弦BD与CD所对的弧的面积相等，所以图中阴影部分的面积=直角三角形ABC的面积-直角三角形BCD的面积．

解答：解：连接CD．
∵BC是直径，
∴∠BDC=90°（直径所对的圆周角是直角），即CD⊥AB；           
又∵△ABC为等腰直角三角形，
∴CD是斜边AB的垂直平分线，
∴CD=BD=AD（斜边上的中线是斜边的一半）；
∴

BD

=

CD

（等弦所对的弧相等），
∴S_扇形BD=S_扇形CD，
∴S_阴影=S_Rt△ABC-S_Rt△BCD；
∵△ABC为等腰直角三角形，CD是斜边AB的垂直平分线，
∴S_Rt△ABC=2S_Rt△BCD；
又S_Rt△ABC=

1

2

×3×3=

9

2

，
∴S_阴影=

9

4

；
故答案为：

9

4

．

点评：本题综合考查了圆周角定理、等腰三角形的性质．解题时，借助于辅助线CD，将隐含在题中的“直径所对的圆周∠BDC=90°”体现出来，便于利用等腰直角三角形ABC的性质：斜边上的中线是斜边的一半及CD是中垂线，来求图中阴影部分的面积．