Question

13．如图，O为坐标原点，点B在x轴上，四边形OACB为平行四边形，cos∠AOB=$\frac{3}{5}$，反比例函数y=$\frac{k}{x}（k＞0）$在第一象限内的图象经过点A，与BC交于点F．
（1）若OA=5，OB=6，求反比例函数解析式及C点的坐标；
（2）若点F为BC的中点，且△AOF的面积为6，求OA的长．

Answer 1

分析 （1）过A作AD⊥OB于D，解直角三角形得到A（3，4），求得k=12，根据平行四边形的性质得到AC=OB=6，AC∥x轴，于是得到C（9，4）；
（2）过F作FM⊥x轴于M，过C作CH⊥x轴于H，得到OD=BH，AD=CH，根据三角形的中位线的性质得到MF=$\frac{1}{2}$HC=$\frac{1}{2}$AD，设MF=a，则AD=2a，得到OD=$\frac{k}{2a}$，BM=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{k}{4a}$，根据OM•MF=k，得到k=8，解直角三角形即可得到结论．

解答 解：（1）过A作AD⊥OB于D，
∵OA=5，cos∠AOB=$\frac{3}{5}$，
∴OD=3，
∴AD=$\sqrt{A{O}^{2}-O{D}^{2}}$=4，
∴A（3，4），
∴k=12，
∵OB=6，
∵四边形AOBC是平行四边形，
∴AC=OB=6，AC∥x轴，
∴C（9，4）；

（2）过F作FM⊥x轴于M，过C作CH⊥x轴于H，
则△ADO≌△CBH，
∴OD=BH，AD=CH，
∵点F为BC的中点，
∴MF=$\frac{1}{2}$HC=$\frac{1}{2}$AD，
设MF=a，则AD=2a，
∴OD=$\frac{k}{2a}$，
∴BM=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{k}{4a}$，
∵F在反比例函数的图象上，
∴OM•MF=k，
∴OM=$\frac{k}{a}$，∴DB=$\frac{k}{4a}$，∴S_△AOF=S_梯形ADMF，
∴（a+2a）•$\frac{2k}{4a}$$•\frac{1}{2}$=6，
∴k=8，
∴OD=$\frac{8}{2a}$，AN=2a，
∵cos∠AOB=$\frac{3}{5}$，
∴tan∠AOD=$\frac{4}{3}$，
∴2a=$\frac{4}{3}$×$\frac{8}{2a}$，
∴a=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
∴AD=$\frac{4}{3}$$\sqrt{6}$，∴AO=$\frac{5}{4}$AD=$\frac{5}{3}$$\sqrt{6}$．

点评 本题考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数的系数k的几何意义，平行四边形的性质，解直角三角形，正确的直线辅助线是解题的关键．