Question

如图，已知Rt△ABC，D₁是斜边AB的中点，过D₁作D₁E₁⊥AC于E₁，连结BE₁交CD₁于D₂；过D₂作D₂E₂⊥AC于E₂，连结BE₂交CD₁于D₃；过D₃作D₃E₃⊥AC于E₃，…，如此继续，可以依次得到点E₄、E₅、…、E_n，分别记△BCE₁、△BCE₂、△BCE₃···△BCE_n的面积为S₁、S₂、S₃、…S_n. 则S_n＝ ▲  S_△ABC（用含n的代数式表示）．

Answer 1

本题考查了相似三角形的相关知识。
分析：根据直角三角形的性质以及相似三角形的性质，再利用在△ACB中，D₂为其重心可得D₂E₁=1/3BE₁，然后从中找出规律即可解答。
解答：
解：根据题意可知D₁E₁∥BC，
∴△BD₁E₁与△CD₁E₁同底同高，面积相等，以此类推；
根据直角三角形的性质以及相似三角形的性质可知：D₁E₁=1/2BC，CE₁=1/2AC，S₁=1/2BC?CE₁=1/2BC×1/2AC=1/2×1/2AC?BC=1/2S_△ABC；
∴在△ACB中，D₂为其重心，
∴D₂E₁=1/3BE₁，
∴D₂E₂=1/3BC，CE₂=1/3AC，S₂=1/3×1/2×AC?BC=1/3S_△ABC。
∴D₃E₃=1/4BC，CE₂=1/4AC，S₃=1/4S_△ABC…；
∴S_n=1/（n+1）S_△ABC。