Question

4．有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上上生出两个小正方形（如图1），其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，生出了4个正方形（如图2），如果按此规律继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”．在“生长”了2017次后形成的图形中所有正方形的面积和是（　　）

• A． 2015
• B． 2016
• C． 2017
• D． 2018

Answer 1

分析 根据勾股定理和正方形的面积公式，知“生长”1次后，以直角三角形两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积，即所有正方形的面积和是2×1=2；“生长”2次后，所有的正方形的面积和是3×1=3，推而广之即可求出“生长”2017次后形成图形中所有正方形的面积之和．

解答 解：设直角三角形的是三条边分别是a，b，c．
根据勾股定理，得a²+b²=c²，
即正方形A的面积+正方形B的面积=正方形C的面积=1．
推而广之，“生长”了2017次后形成的图形中所有的正方形的面积和是2018×1=2018．
故选D．

点评 此题考查了正方形的性质，以及勾股定理，其中能够根据勾股定理发现每一次得到的新的正方形的面积和与原正方形的面积之间的关系是解本题的关键．