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已知:关于x的二次函数y=-x2+ax(a>0),点A(n,y1)、B(n+1,y2)、C(n+2,y3)都在这个二次函数的图象上,其中n为正整数.
(1)y1=y2,请说明a必为奇数;
(2)设a=11,求使y1≤y2≤y3成立的所有n的值;
(3)对于给定的正实数a,是否存在n,使△ABC是以AC为底边的等腰三角形?如果存在,求n的值(用含a的代数式表示);如果不存在,请说明理由.

解:(1)∵点A(n,y1)、B(n+1,y2)、C(n+2,y3)都在二次函数y=-x2+ax(a>0)的图象上,
∴y1=-n2+an,y2=-(n+1)2+a(n+1)
∵y1=y2
∴-n2+an=-(n+1)2+a(n+1)
整理得:a=2n+1
∴a必为奇数;

(2)当a=11时,∵y1≤y2≤y3
∴-n2+11n≤-(n+1)2+11(n+1)≤-(n+2)2+11(n+2)
化简得:0≤10-2n≤18-4n,
解得:n≤4,
∵n为正整数,
∴n=1、2、3、4.

(3)假设存在,则BA=BC,如右图所示.
过点B作BN⊥x轴于点N,过点A作AD⊥BN于点D,CE⊥BN于点E.
∵xA=n,xB=n+1,xC=n+2,
∴AD=CE=1.
在Rt△ABD与Rt△CBE中,

∴Rt△ABD≌Rt△CBE(HL).
∴∠ABD=∠CBE,即BN为顶角的平分线.
由等腰三角形性质可知,点A、C关于BN对称,
∴BN为抛物线的对称轴,点B为抛物线的顶点,
∴n+1=
∴n=-1.
∴a为大于2的偶数,存在n,使△ABC是以AC为底边的等腰三角形,n=-1.
分析:(1)将点A和点B的坐标代入二次函数的解析式,利用y1=y2得到用n表示a的式子,即可得到答案;
(2)将a=11代入解析式后,由题意列出不等式组,求得此不等式组的正整数解;
(3)本问为存在型问题.如解答图所示,可以由三角形全等及等腰三角形的性质,判定点B为抛物线的顶点,点A、C关于对称轴对称.于是得到n+1=,从而可以求出n=-1.
点评:本题考查了二次函数的综合知识,涉及二次函数的图象与性质、等腰三角形、全等三角形、因式分解、解不等式等知识点,有一定的难度,是一道好题.
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已知:关于x的方程mx2-3(m-1)x+2m-3=0.
(1)求证:m取任何实数量,方程总有实数根;
(2)若二次函数y1=mx2-3(m-1)x+2m-3的图象关于y轴对称;
①求二次函数y1的解析式;
②已知一次函数y2=2x-2,证明:在实数范围内,对于x的同一个值,这两个函数所对应的函数值y1≥y2均成立;
(3)在(2)条件下,若二次函数y3=ax2+bx+c的图象经过点(-5,0),且在实数范围内,对于x的同一个值,这三个函数所对应的函数值y1≥y3≥y2均成立,求二次函数y3=ax2+bx+c的解析式.

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已知关于x的二次函数y=ax2+2ax+7a-3在-2≤x≤5上的函数值始终是正的,则a的取值范围(  )
A、a>
1
2
B、a<0或a>
1
14
C、a>
1
14
D、
1
14
<a<
1
2

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精英家教网已知关于x的二次函数y=x2+(2k-1)x+k2-1.
(1)若关于x的一元二次方程x2+(2k-1)x+k2-1=0的两根的平方和等于9,求k的值,并在直角坐标系(如图)中画出函数y=x2+(2k-1)x+k2-1的大致图象;
(2)在(1)的条件下,设这个二次函数的图象与x轴从左至右交于A、B两点.问函数对称轴右边的图象上,是否存在点M,使锐角△AMB的面积等于3.若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)在(1)、(2)条件下,若P点是二次函图象上的点,且∠PAM=90°,求△APM的面积.

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(3)是否存在二次函数y4=ax2+bx+c,其图象经过点(-5,2),且对于任意一个实数x,这三个函数所对应的函数值y1、y2、y4都有y1≤y4≤y2成立?若存在,求出函数y4的解析式;若不存在,请说明理由.
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科目:初中数学 来源:北京模拟题 题型:解答题

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(2)若二次函数y1=mx2-3(m-1)x+2m-3的图象关于y轴对称,
①求二次函数y的解析式;
②已知一次函数y2=2x-2,证明:在实数范围内,对于x的同一个值,这两个函数所对应的函数值y1≥y2均成立;
(3)在(2)条件下,若二次函数y3=ax2+bx+c的图象经过点(-5,0),且在实数范围内,对于x的同一个值,这三个函数所对应的函数值y1≥y3≥y2 均成立,求二次函数y3=ax2+bx+c的解析式。

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