Question

已知：关于x的二次函数y=-x²+ax（a＞0），点A（n，y₁）、B（n+1，y₂）、C（n+2，y₃）都在这个二次函数的图象上，其中n为正整数．
（1）y₁=y₂，请说明a必为奇数；
（2）设a=11，求使y₁≤y₂≤y₃成立的所有n的值；
（3）对于给定的正实数a，是否存在n，使△ABC是以AC为底边的等腰三角形？如果存在，求n的值（用含a的代数式表示）；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵点A（n，y₁）、B（n+1，y₂）、C（n+2，y₃）都在二次函数y=-x²+ax（a＞0）的图象上，
∴y₁=-n²+an，y₂=-（n+1）²+a（n+1）
∵y₁=y₂，
∴-n²+an=-（n+1）²+a（n+1）
整理得：a=2n+1
∴a必为奇数；

（2）当a=11时，∵y₁≤y₂≤y₃
∴-n²+11n≤-（n+1）²+11（n+1）≤-（n+2）²+11（n+2）
化简得：0≤10-2n≤18-4n，
解得：n≤4，
∵n为正整数，
∴n=1、2、3、4．

（3）假设存在，则BA=BC，如右图所示．
过点B作BN⊥x轴于点N，过点A作AD⊥BN于点D，CE⊥BN于点E．
∵x_A=n，x_B=n+1，x_C=n+2，
∴AD=CE=1．
在Rt△ABD与Rt△CBE中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△CBE（HL）．
∴∠ABD=∠CBE，即BN为顶角的平分线．
由等腰三角形性质可知，点A、C关于BN对称，
∴BN为抛物线的对称轴，点B为抛物线的顶点，
∴n+1=，
∴n=-1．
∴a为大于2的偶数，存在n，使△ABC是以AC为底边的等腰三角形，n=-1．
分析：（1）将点A和点B的坐标代入二次函数的解析式，利用y₁=y₂得到用n表示a的式子，即可得到答案；
（2）将a=11代入解析式后，由题意列出不等式组，求得此不等式组的正整数解；
（3）本问为存在型问题．如解答图所示，可以由三角形全等及等腰三角形的性质，判定点B为抛物线的顶点，点A、C关于对称轴对称．于是得到n+1=，从而可以求出n=-1．
点评：本题考查了二次函数的综合知识，涉及二次函数的图象与性质、等腰三角形、全等三角形、因式分解、解不等式等知识点，有一定的难度，是一道好题．