【题目】已知:点O到△ABC的两边AB,AC所在直线的距离相等,且OB=OC.
(1)如图1,若点O在边BC上,求证:AB=AC;
(2)如图2,若点O在△ABC的内部,求证:AB=AC;
(3)若点O在△ABC的外部,AB=AC成立吗?请画出图表示.
【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)不一定.
【解析】
试题分析:(1)求证AB=AC,就是求证∠B=∠C,可通过构建全等三角形来求.过点O分别作OE⊥AB于E,OF⊥AC于F,那么可以用斜边直角边定理(HL)证明Rt△OEB≌Rt△OFC来实现;
(2)思路和辅助线同(1)证得Rt△OEB≌Rt△OFC后,可得出∠OBE=∠OCF,等腰△ABC中,∠ABC=∠ACB,因此∠OBC=∠OCB,那么OB=OC;
(3)不一定成立,当∠A的平分线所在直线与边BC的垂直平分线重合时,有AB=AC;否则,AB≠AC.
试题解析:(1)过点O分别作OE⊥AB于E,OF⊥AC于F,
由题意知,
在Rt△OEB和Rt△OFC中
∴Rt△OEB≌Rt△OFC(HL),
∴∠ABC=∠ACB,
∴AB=AC;
(2)过点O分别作OE⊥AB于E,OF⊥AC于F,
由题意知,OE=OF.∠BEO=∠CFO=90°,
∵在Rt△OEB和Rt△OFC中
∴Rt△OEB≌Rt△OFC(HL),
∴∠OBE=∠OCF,
又∵OB=OC,
∴∠OBC=∠OCB,
∴∠ABC=∠ACB,
∴AB=AC;
(3)不一定成立,当∠A的平分线所在直线与边BC的垂直平分线重合时AB=AC,否则AB≠AC.(如示例图)
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【题目】选择用反证法证明“已知:在△ABC中,∠C=90°.求证:∠A,∠B中至少有一个角不大于45°.”时,应先假设( )
A. ∠A>45°,∠B>45° B. ∠A≥45°,∠B≥45°
C. ∠A<45°,∠B<45° D. ∠A≤45°,∠B≤45°
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【题目】一个运算程序输入x后,得到的结果是2x2﹣1,则这个运算程序是( )
A.先乘2,然后平方,再减去1 B.先平方,然后减去1,再乘2
C.先平方,然后乘2,再减去1 D.先减去1,然后平方,再乘2
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【题目】如图,在等腰梯形ABCD中,已知AD∥BC,AB=DC,AC与BD交于点O,延长BC到E,使得CE=AD,连接DE.
(1)求证:BD=DE.
(2)若AC⊥BD,AD=3,SABCD=16,求AB的长.
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【题目】(1)叙述三角形中位线定理,并运用平行四边形的知识证明;
(2)运用三角形中位线的知识解决如下问题:如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,E,F分别是AB,CD的中点,求证EF=.
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【题目】如图,E、F分别是正方形ABCD中BC和CD边上的点,CE=BC,F为CD的中点,连接AF、AE、EF,
(1)判定△AEF的形状,并说明理由;
(2)设AE的中点为O,判定∠BOF和∠BAF的数量关系,并证明你的结论.
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