Question

17．（1）如图1，试探究其中∠1，∠2与∠3，∠4之间的关系，并证明．
（2）用（1）中的结论解决下列问题：如图2，AE、DE分别是四边形ABCD的外角∠NAD、∠MDA的平分线，∠B+∠C=240°，求∠E的度数．

Answer 1

分析 （1）由四边形的内角和是360°，以及邻补角的和是180°求解即可；
（2）依据（1）的结论可知∠MDA+∠DAN=240°，由角平分线的定义可求得∠EDA+∠EAD=120°，最后再△ADE中由勾股定理可求得∠E的度数．

解答 解：（1）∠1+∠2=∠3+∠4．
理由：由四边形的内角和是360°可知：∠3+∠4+∠5+∠6=360°．
∵∠1+∠5=180°，∠2+∠6=180°，
∴∠1+∠2+∠5+∠6=360°．
∴∠1+∠2=∠3+∠4．
（2）由（1）可知∠MDA+∠DAN=∠B+∠C=240°．
∵AE、DE分别是四边形ABCD的外角∠NAD、∠MDA的平分线，
∴∠EDA=$\frac{1}{2}$∠MDA，∠EAD=$\frac{1}{2}$∠DAN．
∴∠EDA+∠EAD=$\frac{1}{2}$×（∠MDA+∠DAN）=$\frac{1}{2}$×240°=120°．

点评 本题主要考查的是多边形的内角和，掌握四边形的内角和是360°是解题的关键．