Question

如图1，在一次航海模型船训练中，A₁B₁和A₂B₂是水面上相邻的两条赛道（看成两条互相平行的线段）．甲船在赛道A₁B₁上从A₁处出发，到达B₁后，以同样的速度返回A₁处，然后重复上述过程；乙船在赛道A₂B₂上以2m/s的速度从B₂处出发，到达A₂后以相同的速度回到B₂处，然后重复上述过程（不考虑每次折返时的减速和转向时间）．若甲、乙两船同时出发，设离开池边B₁B₂的距离为y（m），运动时间为t（s），甲船运动时，y（m）与t（s）的函数图象如图2所示．

（1）赛道的长度是______m，甲船的速度是______m/s；
（2）分别求出甲船在0≤t≤30和30＜t≤60时，y关于t的函数关系式；
（3）求出乙船由B₂到达A₂的时间，并在图2中画出乙船在3 分钟内的函数图象；
（4）请你根据（3）中所画的图象直接判断，若从甲、乙两船同时开始出发到3分钟为止，甲、乙共相遇了几次？

Answer 1

解：（1）图2中，∵t=0时，y=90，
∴赛道的长度是90m；
∵甲船30s运动90m，
∴速度为90÷30=3（m/s）；
故答案为90，3；

（2）当0≤t≤30时，设y=kt+b，
将（0，90），（30，0）代入，得，
解得，
则y=90-3t（0≤t≤30）；
当30＜t≤60时，设y=mt+n，
将（30，0），（60，90）代入，得，
解得，
则y=3t-90（30＜t≤60）；

（3）∵赛道的长度为90米，乙船的速度为2米/秒，
∴乙船由B₂到达A₂的时间为90÷2=45（秒）；
乙船在3分钟内的函数图象如图3所示：

（4）从图3可知甲、乙共相遇5次．
分析：（1）由于甲船在赛道A₁B₁上从A₁处出发，到达B₁后，以同样的速度返回A₁处，然后重复上述过程，又因为y表示船离开池边B₁B₂的距离，所以图2中当t=0时对应的y值即为赛道的长度；因为30秒钟甲船从A₁处运动到B₁处，即30s运动90m，根据速度=路程÷时间，即可求出甲船的速度；
（2）先根据图象的形状，可判断出甲船在0≤t≤30和30＜t≤60时，y都是t的一次函数，设出其解析式，再运用待定系数法求解；
（3）乙船的速度为2m/s，由B₂到达A₂的路程为赛道的长度90m，根据时间=路程÷速度，即可求出乙船由B₂到达A₂的时间为45s；乙船在3分钟内可运动2个来回，每45s可从赛道一端运动到另外一端，起点在原点，据此在图2中画出乙船在3分钟内的函数图象；
（4）两个图象的交点个数即为相遇次数．
点评：本题主要考查函数模型的建立与应用，主要涉及了分段函数，以及分段函数的图象及其应用，考查了数形结合的思想与方法．