Question

11．在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A，D分别在x轴、y轴正半轴上，AC，BD交于点M，若OA=8，OD=6，则点M的坐标为（7，7）．

Answer 1

分析 如图作ME⊥x轴于E，MF⊥y轴于F．则四边形MEOF是矩形．由△MEA≌△MFD，推出ME=MF，AE=DF，推出四边形MEOF是正方形，可得OA+OB=OE+AE+OF-DF=2OE=14，推出OE=OF=ME=MF=7，由此即可解决问题．

解答 解：如图作ME⊥x轴于E，MF⊥y轴于F．则四边形MEOF是矩形．

∵四边形ABCD是正方形，
∴MD=MA，
∵∠DMA=∠EMF=90°，
∴∠DMF=∠EMA，
在△MEA和△MFD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MEA=∠MFD}\\{∠MEA=∠MFD}\\{ME=MF}\end{array}\right.$，
∴△MEA≌△MFD，
∴ME=MF，AE=DF，
∴四边形MEOF是正方形，
∴OA+OB=OE+AE+OF-DF=2OE=14，
∴OE=OF=ME=MF=7，
∴M（7，7）．
故答案为（7，7）．

点评 本题考查正方形的性质、坐标与图形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．